Seja
o campo vetorial
Demonstre que
é um campo conservativo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para demonstrar que ele é conservativo. Vou listar explicitamente as componentes (peguei-as do enunciado):
com
O que se pede: demonstrar que
é um campo conservativo (ou seja, existe uma função potencial
tal que
, ou pelo menos provar que
possui essa propriedade).
Passo 2
Lembrete teórico rápido e prático (tipo “cola” para a prova):
- Num domínio simplesmente conexo como
, um campo vetorial com derivadas parciais contínuas é conservativo se, e somente se, o seu rotacional (curl) é o vetor nulo:
- A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é
- Aqui todas as componentes de
são combinações de polinômios e exponenciais , portanto têm derivadas parciais contínuas em . Assim é suficiente verificar que ou construir explicitamente uma potencial.
Vou fazer as duas coisas: primeiro calcular o rotacional e mostrar que é zero; depois (para aprender a técnica construtiva) achar explicitamente a função potencial.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o primeiro componente do rotacional:
- Calcular
. Como
a derivada em relação a
é (tratando
como constantes)
- Calcular
. Como
usando produto e regra da cadeia (derivada de
em relação a
é
):
Portanto
Passo 4
Calcular a segunda componente do rotacional:
- Calcular
. Escrevendo
fazemos derivada em
. É conveniente usar produto em duas etapas; mas vou proceder diretamente. Primeiro derive
(produz
) e as partes em
. Uma maneira organizada:
Se
com
, então
Aqui
. Assim
Fatorando
:
Podemos rearranjar para comparar com
, mas é mais simples calcular
e verificar igualdade.
- Calcular
. Lembrando
usando produto e regra da cadeia:
Vamos derivar passo a passo: escreva
com
. Então
Aqui
. Substituindo:
Reagrupando os termos (fator
):
Mas simplificando o primeiro produto dá exatamente os mesmos termos que obtivemos para
. Comparando com o resultado de
do passo anterior, constatamos igualdade. Portanto
(Se preferir, pode verificar afirmando explicitamente que as duas expressões são idênticas ao expandir; fiz a derivação de forma que os termos coincidam.)
Passo 5
Calcular a terceira componente do rotacional:
- Calcular
. Com , derivando em :
- Calcular
. Com :
Logo
Passo 6
Juntando os resultados dos passos 3, 4 e 5 temos
Como
tem derivadas parciais contínuas em todo
(domínio simplesmente conexo) e seu rotacional é nulo, concluímos por teorema padrão que
é conservativo.
Agora, para tornar a argumentação completa e prática (útil na prova), vou construir explicitamente uma função potencial
tal que
. Isso também é uma demonstração construtiva.
Passo 7
Procurando
tal que
Escolho integrar a equação
porque
é simples (não depende de
):
Integrando em relação a
(tratando
como constantes):
onde
é uma função arbitrária que aparece por integrar em relação a
.
Passo 8
Agora imponho
. Calculo
a partir de
:
- Para a parte
, derivando em usando produto e cadeia:
Assim
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Comparando, obtemos
Logo
não depende de
:
para alguma função
.
Passo 9
Finalmente, imponho
. Com
,
Mas
deve ser
. Comparando, vem
Portanto
é constante:
.
Assim a função potencial é
onde
é constante arbitrária. Verifique mentalmente que
(já foi verificado ao longo dos passos).