Definição: uma matriz é nilpotente se existe inteiro k>1 tal que A^{k}=\mathbf{0}.
Perguntas:
(a) Mostrar que A_1 e A_2 são nilpotentes e encontrar o valor de k que satisfaz a definição para cada uma.
(b) Demonstrar que, em geral, se A é nilpotente então \det(A)=0.]
Passo 2
Explicação rápida (fórmula que vou usar para multiplicar matrizes): o elemento na linha i e coluna j do produto BC é
(BC)_{ij}=\sum_{p} B_{ip}\,C_{pj},
ou seja, multiplica-se a linha i de B pelas colunas de C e soma-se os produtos correspondentes. Vou aplicar isso diretamente para calcular potências das matrizes dadas.
Passo 3
Cálculo de A_1^2 para A_1=\left[\begin{array}{cc}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
Conclui-se que existe k=2 com A_1^{k}=\mathbf{0}. Logo A_1 é nilpotente e um valor válido de k é k=2.]
Passo 4
Comentário intuitivo sobre A_1: é uma matriz estritamente triangular superior com apenas um elemento acima da diagonal (o 2 em posição (1,2)). Para matrizes 2\times2 deste tipo, a multiplicação faz com que todos os produtos diagonais e inferiores sejam zero, e a segunda potência zera a única posição possivelmente não-nula. Isso explica por que k=2 funciona sem mais contas.
Observe que A_2^2 não é a matriz nula (tem 4 na posição (1,3)).]
Passo 6
Cálculo de A_2^3 = A_2^2\cdot A_2. Já sabemos que A_2^2 tem apenas um possível não-nulo em posição (1,3), igual a 4. Ao multiplicar A_2^2 por A_2, os elementos da linha 1 de A_2^3 são
Como (A_2^2)_{11}=(A_2^2)_{12}=0 e (A_2^2)_{13}=4, a soma reduz-se a
(A_2^3)_{1j}=4\cdot (A_2)_{3j}.
Mas a terceira linha de A_2 é toda zero, isto é, (A_2)_{3j}=0 para todo j. Logo (A_2^3)_{1j}=0 para todo j. As outras linhas de A_2^3 também serão zero porque A_2^2 tem linha 2 e 3 nulas. Portanto
Conclui-se que A_2 é nilpotente e um valor válido de k é k=3.]
Passo 7
Observação geral e intuição extra (útil na prova): matrizes estritamente triangulares superiores n\times n (todas as entradas na diagonal e abaixo dela são zero) são sempre nilpotentes, com potência nula em k\le n. A ideia é que cada multiplicação desloca não-nulos para cima na matriz e após no máximo n-1 multiplicações todas as entradas se tornam zero. Isso explica por que A_1 (tamanho 2) teve k=2 e A_2 (tamanho 3) teve k=3.
Passo 8
Prova de (b): se A é nilpotente, existe inteiro k>1 tal que A^{k}=\mathbf{0}. Aplicando o determinante aos dois lados:
\det\!\big(A^{k}\big)=\det(\mathbf{0}).
Duas propriedades de determinante usadas:
A multiplicatividade do determinante: para matrizes quadradas B e C, \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}. Iterando, \det(A^{k})=\big(\det(A)\big)^{k}.
O determinante da matriz nula \mathbf{0} é 0: \det(\mathbf{0})=0.
Portanto
\big(\det(A)\big)^{k}=0.
No corpo dos números reais (ou complexos) só o número 0 tem a propriedade de que uma potência positiva é zero, então \det(A)=0. Assim qualquer matriz nilpotente tem determinante zero.
Resposta
(a) A_1 é nilpotente com k=2.
(a) A_2 é nilpotente com k=3.
(b) Se A for nilpotente então \det(A)=0.