Uma matriz se chama nilpotente se \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{k}}=\mathbf{0} para algum inteiro k>1.
(a) Demonstre que as matrizes
\left[\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
são nilpotentes e obtenha o valor de k que satisfaz a definição.
(b) Demonstre que se A for nilpotente então \operatorname{det}(A)=0.

Passo 1

O enunciado dá duas partes. Informações fornecidas:
  • Duas matrizes concretas:
    • A_1=\left[\begin{array}{cc}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
    • A_2=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 3\\[4pt]0 & 0 & 4\\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right].
  • Definição: uma matriz é nilpotente se existe inteiro k>1 tal que A^{k}=\mathbf{0}.
Perguntas:
(a) Mostrar que A_1 e A_2 são nilpotentes e encontrar o valor de k que satisfaz a definição para cada uma.
(b) Demonstrar que, em geral, se A é nilpotente então \det(A)=0.]

Passo 2

Explicação rápida (fórmula que vou usar para multiplicar matrizes): o elemento na linha i e coluna j do produto BC é
(BC)_{ij}=\sum_{p} B_{ip}\,C_{pj},
ou seja, multiplica-se a linha i de B pelas colunas de C e soma-se os produtos correspondentes. Vou aplicar isso diretamente para calcular potências das matrizes dadas.

Passo 3

Cálculo de A_1^2 para A_1=\left[\begin{array}{cc}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
Multiplicando A_1 por si mesma, pelo elemento:
  • (A_1^2)_{11}=0\cdot0 + 2\cdot0 = 0.
  • (A_1^2)_{12}=0\cdot2 + 2\cdot0 = 0.
  • (A_1^2)_{21}=0\cdot0 + 0\cdot0 = 0.
  • (A_1^2)_{22}=0\cdot2 + 0\cdot0 = 0.
Portanto
A_1^2=\left[\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{array}\right]=\mathbf{0}.
Conclui-se que existe k=2 com A_1^{k}=\mathbf{0}. Logo A_1 é nilpotente e um valor válido de k é k=2.]

Passo 4

Comentário intuitivo sobre A_1: é uma matriz estritamente triangular superior com apenas um elemento acima da diagonal (o 2 em posição (1,2)). Para matrizes 2\times2 deste tipo, a multiplicação faz com que todos os produtos diagonais e inferiores sejam zero, e a segunda potência zera a única posição possivelmente não-nula. Isso explica por que k=2 funciona sem mais contas.

Passo 5

Cálculo de A_2^2 para
A_2=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 3\\[4pt]0 & 0 & 4\\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right].
Vou calcular os elementos de A_2^2 usando a soma de produtos.
  • Linha 1, coluna 1:
    (A_2^2)_{11}=0\cdot0 + 1\cdot0 + 3\cdot0 = 0.
  • Linha 1, coluna 2:
    (A_2^2)_{12}=0\cdot1 + 1\cdot0 + 3\cdot0 = 0.
  • Linha 1, coluna 3:
    (A_2^2)_{13}=0\cdot3 + 1\cdot4 + 3\cdot0 = 4.
  • Linha 2, coluna 1:
    (A_2^2)_{21}=0\cdot0 + 0\cdot0 + 4\cdot0 = 0.
  • Linha 2, coluna 2:
    (A_2^2)_{22}=0\cdot1 + 0\cdot0 + 4\cdot0 = 0.
  • Linha 2, coluna 3:
    (A_2^2)_{23}=0\cdot3 + 0\cdot4 + 4\cdot0 = 0.
  • Linha 3, todas as colunas: a linha 3 de A_2 é toda zero, logo toda a linha 3 de A_2^2 será zero:
    (A_2^2)_{31}=(A_2^2)_{32}=(A_2^2)_{33}=0.
Assim
A_2^2=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 4\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right].
Observe que A_2^2 não é a matriz nula (tem 4 na posição (1,3)).]

Passo 6

Cálculo de A_2^3 = A_2^2\cdot A_2. Já sabemos que A_2^2 tem apenas um possível não-nulo em posição (1,3), igual a 4. Ao multiplicar A_2^2 por A_2, os elementos da linha 1 de A_2^3 são
(A_2^3)_{1j}=\sum_{p=1}^{3} (A_2^2)_{1p}\, (A_2)_{pj}.
Como (A_2^2)_{11}=(A_2^2)_{12}=0 e (A_2^2)_{13}=4, a soma reduz-se a
(A_2^3)_{1j}=4\cdot (A_2)_{3j}.
Mas a terceira linha de A_2 é toda zero, isto é, (A_2)_{3j}=0 para todo j. Logo (A_2^3)_{1j}=0 para todo j. As outras linhas de A_2^3 também serão zero porque A_2^2 tem linha 2 e 3 nulas. Portanto
A_2^3=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right]=\mathbf{0}.
Conclui-se que A_2 é nilpotente e um valor válido de k é k=3.]

Passo 7

Observação geral e intuição extra (útil na prova): matrizes estritamente triangulares superiores n\times n (todas as entradas na diagonal e abaixo dela são zero) são sempre nilpotentes, com potência nula em k\le n. A ideia é que cada multiplicação desloca não-nulos para cima na matriz e após no máximo n-1 multiplicações todas as entradas se tornam zero. Isso explica por que A_1 (tamanho 2) teve k=2 e A_2 (tamanho 3) teve k=3.

Passo 8

Prova de (b): se A é nilpotente, existe inteiro k>1 tal que A^{k}=\mathbf{0}. Aplicando o determinante aos dois lados:
\det\!\big(A^{k}\big)=\det(\mathbf{0}).
Duas propriedades de determinante usadas:
  1. A multiplicatividade do determinante: para matrizes quadradas B e C, \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}. Iterando, \det(A^{k})=\big(\det(A)\big)^{k}.
  2. O determinante da matriz nula \mathbf{0} é 0: \det(\mathbf{0})=0.
Portanto
\big(\det(A)\big)^{k}=0.
No corpo dos números reais (ou complexos) só o número 0 tem a propriedade de que uma potência positiva é zero, então \det(A)=0. Assim qualquer matriz nilpotente tem determinante zero.

Resposta

(a) A_1 é nilpotente com k=2.
(a) A_2 é nilpotente com k=3.
(b) Se A for nilpotente então \det(A)=0.

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