Seja F o espaço de funções reais de números reais, onde a soma é definida como
\left(f_{1}+f_{2}\right)(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)
e a multiplicação por escalar como
\left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x)
Determine se cada exemplo é um subespaço de F :
O conjunto das funções racionais \frac{f(x)}{g(x)}
onde f(x) e g(x) são polinômios;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se um conjunto de funções é um subespaço do espaço F de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}. As informações dadas são:
  • O espaço ambienta é F=\{\,\text{todas as funções }f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,\}çõ, com soma e multiplicação por escalar dadas ponto a ponto.
  • O conjunto em questão é
S=\left\{\frac{f(x)}{g(x)} \;\middle|\; f(x),g(x)\text{ são polinômios}\right\},ãô
isto é, o conjunto de todas as funções racionais (razão de dois polinômios) — conforme enunciado.
O que se pede: decidir se S é um subespaço de F.

Passo 2

Lembraremos da definição prática de subespaço (passo-a-passo como na prova):
  • Para um conjunto S ser subespaço de F é necessário e suficiente que
    1. S\subseteq F (cada elemento de S é, de fato, uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R});
    2. S contenha a função zero (função identicamente zero);
    3. S seja fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S;
    4. S seja fechado sob multiplicação por escalares: se u\in S e a\in\mathbb{R} então a\cdot u\in S.
Observação importante (didática): a condição inicial S\subseteq F é imprescindível — se alguma função em S não for definida para todo x\in\mathbb{R}, então ela não pertence a F e S já falha em ser subespaço.

Passo 3

Vamos checar a condição S\subseteq F. Apresento um exemplo simples que costuma quebrar a questão:
Considere a função racional
r(x)=\frac{1}{x},
que é da forma \dfrac{f(x)}{g(x)} com f(x)=1 e g(x)=x (ambos polinômios). Logo r\in S segundo a descrição do enunciado como “razão de polinômios”.
Porém, r(x)=1/x não é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R} bem-definida porque não tem valor em x=0 (o denominador anula em 0). Portanto r\notin F.
Conclusão deste passo: S contém funções (como 1/x) que não são elementos de F. Ou seja, S\not\subseteq F. Como condição básica para ser subespaço não é satisfeita, S não pode ser subespaço de F.
(Aqui já basta — uma contradição em pertencer ao espaço ambienta impede ser subespaço.)

Passo 4

Para fixar o entendimento e não ficar com dúvida: existe uma interpretação alternativa que às vezes confunde. Se por acaso restringíssemos a definição e considerássemos apenas as funções racionais que estão definidas em todo \mathbb{R} — isto é, o subconjunto
S'=\left\{\frac{f(x)}{g(x)} \;\middle|\; f,g\text{ polinômios e }g(x)\neq0\\ \forall x\in\mathbb{R}\right\},ô
então S'\subseteq F e vale verificar as demais propriedades:
  • A função zero está em S' (pegar f\equiv0 e qualquer g sem raízes reais).
  • Fechamento por soma: se \dfrac{f_1}{g_1} e \dfrac{f_2}{g_2} têm g_1,g_2 nunca nulos em \mathbb{R}, então \frac{f_1}{g_1}+\frac{f_2}{g_2}=\frac{f_1g_2+f_2g_1}{g_1g_2},e g_1g_2 também nunca é zero em \mathbb{R}, logo a soma está em S'.
  • Fechamento por escalares é óbvio.
Portanto S' seria subespaço de F. Isso mostra que o problema é sutil: a afirmação do enunciado sobre “todas as funções racionais” geralmente inclui funções com polos (como 1/x), e aí o conjunto não está contido em F.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (de prova): como existe pelo menos uma função racional (por exemplo \dfrac{1}{x}) que não é uma função definida em todo \mathbb{R}, o conjunto S indicado pelo enunciado não é um subconjunto de F; portanto não pode ser subespaço de F.
Força aí nos estudos — essa armadilha de domínio é muito comum nas provas; sempre cheque se os elementos realmente pertencem ao espaço ambienta antes de testar fechamento.

Resposta

Não, não é subespaço de F.

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