Seja \boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} o vetor posição de uma massa m_{1} e considere a massa m_{2} localizada na origem. Se a força de atração gravitacional for
F=-\frac{G m_{1} m_{2}}{\|\boldsymbol{r}\|^{3}} \boldsymbol{r}
verifique que \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{F}=\mathbf{0} e \operatorname{div} \mathbf{F}=0, \mathbf{r} \neq \mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de força gravitacional
\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G\,m_{1}\,m_{2}}{\|\mathbf{r}\|^{3}}\;\mathbf{r},
onde \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} e \|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Queremos verificar que
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} \quad\text{e}\quad \nabla\cdot\mathbf{F}=0 \quad(\mathbf{r}\neq\mathbf{0}).
Para isso vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos as componentes de \mathbf{F}. Defina
\mu = G\,m_{1}\,m_{2},
então
F_{x} = -\mu\,\frac{x}{r^{3}}, \quad F_{y} = -\mu\,\frac{y}{r^{3}}, \quad F_{z} = -\mu\,\frac{z}{r^{3}},
com r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Note que
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.

Passo 3

Calculamos o rotacional em coordenadas cartesianas, por exemplo a componente x:
(\nabla\times\mathbf{F})_{x} = \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}.
Usando F_{z}=-\mu\,z\,r^{-3} e a regra da cadeia,
\frac{\partial F_{z}}{\partial y} = -\mu\left(\frac{\partial z}{\partial y}r^{-3}+z\frac{\partial (r^{-3})}{\partial y}\right) = -\mu\bigl(0 + z\cdot(-3)r^{-4}\cdot\frac{y}{r}\bigr) = 3\mu\,\frac{y\,z}{r^{5}}.
De modo análogo
\frac{\partial F_{y}}{\partial z} = 3\mu\,\frac{y\,z}{r^{5}}.
Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_{x} = 3\mu\,\frac{y\,z}{r^{5}} - 3\mu\,\frac{y\,z}{r^{5}} = 0.
Pelos mesmos cálculos para as outras duas componentes, conclui-se que
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 4

Para a divergência usamos a fórmula
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
Cada termo, por exemplo
\frac{\partial F_{x}}{\partial x} = -\mu\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(x\,r^{-3}\Bigr) = -\mu\Bigl(r^{-3}+x\cdot(-3)r^{-4}\cdot\frac{x}{r}\Bigr) = -\mu\Bigl(\frac{1}{r^{3}} - \frac{3x^{2}}{r^{5}}\Bigr).
Fazendo o mesmo para \partial F_{y}/\partial y e \partial F_{z}/\partial z e somando, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F} = -\mu\Bigl(\frac{1}{r^{3}}-\frac{3x^{2}}{r^{5}}\Bigr) -\mu\Bigl(\frac{1}{r^{3}}-\frac{3y^{2}}{r^{5}}\Bigr) -\mu\Bigl(\frac{1}{r^{3}}-\frac{3z^{2}}{r^{5}}\Bigr).
Agrupando termos:
\nabla\cdot\mathbf{F} = -\mu\Bigl(\frac{3}{r^{3}} - \frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{5}}\Bigr) = -\mu\Bigl(\frac{3}{r^{3}} - \frac{3r^{2}}{r^{5}}\Bigr) = 0.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e \nabla\cdot\mathbf{F}=0 para \mathbf{r}\neq\mathbf{0}.

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