Se \mathbf{E}=\mathbf{E} (x, y, z, t) e \mathbf{H}=\mathbf{H} (x, y, z, t) representam os campos elétrico e magnético no espaço livre, então as equações de Maxwell são
\begin{aligned} & \operatorname{div} \boldsymbol{E}=0, \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \\\ & \operatorname{div} \boldsymbol{H}=0, \nabla \times \boldsymbol{H}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{aligned}
onde c é a velocidade da luz. Use a identidade do problema 24 para mostrar que \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} satisfazem
(a) \quad \nabla^{2} \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de Maxwell no espaço livre e pede para mostrar que \mathbf{E} satisfaz a equação de onda. O conteúdo principal é a identidade vetorial do problema 24:
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}.

Passo 2

Aplicamos o operador \nabla \times na equação
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\,\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}
obtendo
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \mathbf{H}\bigr).

Passo 3

Usamos a outra equação de Maxwell
\nabla \times \mathbf{H} = -\frac{1}{c}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
para substituir na expressão acima:
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\frac{1}{c}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.

Passo 4

Agora aplicamos a identidade vetorial com \mathbf{A}=\mathbf{E} e usamos \nabla\cdot \mathbf{E}=0:
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla^2 \mathbf{E}.
Igualando aos resultados do passo anterior:
-\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.

Resposta

\nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}.

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