Se \mathbf{E}=\mathbf{E} (x, y, z, t) e \mathbf{H}=\mathbf{H} (x, y, z, t) representam os campos elétrico e magnético no espaço livre, então as equações de Maxwell são
\begin{aligned} & \operatorname{div} \boldsymbol{E}=0, \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} \\\ & \operatorname{div} \boldsymbol{H}=0, \nabla \times \boldsymbol{H}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{aligned}
onde c é a velocidade da luz. Use a identidade do problema 24 para mostrar que \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} satisfazem
(b) \quad \nabla^{2} \boldsymbol{H}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{H}}{\partial t^{2}}

Passo 1

O enunciado dá os campos elétrico e magnético \mathbf{E}(x,y,z,t) e \mathbf{H}(x,y,z,t) no vácuo, que satisfazem
\begin{aligned} \operatorname{div}\mathbf{E}&=0, & \nabla\times\mathbf{E}&=-\tfrac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t},\\\ \operatorname{div}\mathbf{H}&=0, & \nabla\times\mathbf{H}&=-\tfrac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned}
Queremos mostrar que
\nabla^2\mathbf{H}=-\tfrac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}.
O conteúdo usado é cálculo vetorial e, em particular, a identidade
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr) =\nabla\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)-\nabla^2\mathbf{F}.

Passo 2

Aplicamos o operador \nabla\times à equação
\nabla\times\mathbf{H} =-\tfrac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Isso nos dá
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{H}\bigr) =-\tfrac{1}{c}\,\nabla\times\!\Bigl(\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr).

Passo 3

No lado esquerdo usamos a identidade vetorial com \mathbf{F}=\mathbf{H}. Como \operatorname{div}\mathbf{H}=0, obtemos
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{H}\bigr) =\nabla\bigl(\nabla\cdot\mathbf{H}\bigr)-\nabla^2\mathbf{H} =0-\nabla^2\mathbf{H} =-\nabla^2\mathbf{H}.

Passo 4

No lado direito permutamos derivada espacial e temporal e usamos a outra equação de Maxwell \nabla\times\mathbf{E}=-\tfrac{1}{c}\partial\mathbf{H}/\partial t:
-\tfrac{1}{c}\,\nabla\times\!\Bigl(\tfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) =-\tfrac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{E}\bigr) =-\tfrac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\tfrac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}\Bigr) =\tfrac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}.

Passo 5

Igualando as duas expressões, temos
-\,\nabla^2\mathbf{H} =\tfrac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2},
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\nabla^2\mathbf{H} =-\tfrac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}.

Resposta

\nabla^2\mathbf{H} =-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\mathbf{H}}{\partial t^2}.

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