Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Encontre o valor de k tal que
P(\mathbf{X}<\mathbf{k})=0,75

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de k tal que P(\mathbf{X}<\mathbf{k})=0,75, sabendo que \mathbf{X} tem distribuição normal com média e variância dadas por \mathbf{X}\sim N(5;4). Informações importantes do enunciado: \mu=5 (média), \sigma^{2}=4 (variância) e, portanto, \sigma=\sqrt{4}=2 (desvio padrão). A incógnita é k que satisfaz \Pr(X<k)=0,75.

Passo 2

Ideia geral para resolver: vamos transformar X em uma variável normal padrão Z (média zero e desvio padrão 1) usando padronização. A padronização é uma técnica que facilita porque temos tabelas (ou funções) da distribuição normal padrão. A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando: \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão. Substituir X por Z nos permite usar a função de distribuição acumulada padrão \Phi.

Passo 3

Aplicando a padronização ao evento pedido:
P(X<k)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=P\left(Z<\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é, \Phi(z)=P(Z<z). Portanto a equação que queremos resolver é
\Phi\!\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=0,75.

Passo 4

Agora precisamos do quantil da normal padrão correspondente a 0,75. Chamando z_{0,75} esse quantil,
z_{0,75}=\Phi^{-1}(0,75),
ou seja, o número z tal que \Phi(z)=0,75. Em uma tabela da normal padrão ou usando a função inversa de uma calculadora, obtém-se
z_{0,75}\approx 0,6744898.
Se você usar uma tabela comum: \Phi(0{,}67)\approx 0{,}7480 e \Phi(0{,}68)\approx 0{,}7517; interpolando chega-se aproximadamente a 0{,}674. Então vamos usar z_{0,75}\approx 0{,}6744898.

Passo 5

Voltando à relação entre k e z_{0,75}:
\frac{k-\mu}{\sigma}=z_{0,75}.
Isolando k,
k=\mu+\sigma z_{0,75}.
Substituindo os valores \mu=5, \sigma=2 e z_{0,75}\approx 0{,}6744898,
k=5+2\cdot 0{,}6744898=5+1{,}3489796=6{,}3489796.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final: geralmente em provas basta dar k com duas casas decimais ou três dependendo do contexto. Aqui podemos arredondar para duas casas decimais:
k\approx 6{,}35.
Significado: aproximadamente 75\% da massa da distribuição N(5,4) está à esquerda de k\approx 6{,}35.

Resposta

k\approx 6{,}35

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