Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
P(\mathbf{X} \geq 5)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: temos a variável aleatória \boldsymbol{X} com distribuição \boldsymbol{N}(5;4). Isto significa que a média é \mu=5 e a variância é \sigma^{2}=4. A questão pede calcular a probabilidade
P(\boldsymbol{X}\geq 5).
Informações relevantes listadas: \mu=5, \sigma^{2}=4 (logo \sigma=\sqrt{4}), e a distribuição é contínua (normal).

Passo 2

Calcular a desviância padrão: a variância dada é \sigma^{2}=4, portanto a desviância padrão é
\sigma=\sqrt{4}=2.
Explicação curta: a desviância padrão \sigma é a raiz quadrada da variância e mede a dispersão típica da distribuição.

Passo 3

Definir a padronização (transformação para a normal padrão): para passar de \boldsymbol{X} para a normal padrão usamos a variável
Z=\frac{\boldsymbol{X}-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média de \boldsymbol{X} e \sigma é o desvio padrão. A ideia: Z tem média 0 e variância 1 quando \boldsymbol{X} é normal.

Passo 4

Transformar o evento pedido em termos de Z. Substituindo \mu=5 e \sigma=2 obtemos
P(\boldsymbol{X}\geq 5)=P\!\left(\frac{\boldsymbol{X}-5}{2}\geq \frac{5-5}{2}\right)=P\!\left(\frac{\boldsymbol{X}-5}{2}\geq 0\right).
Pelo que definimos, \displaystyle Z=\frac{\boldsymbol{X}-5}{2}. Logo o evento é equivalente a
P(\boldsymbol{X}\geq 5)=P(Z\geq 0).
Explicação do passo: como a transformação x\mapsto (x-5)/2 é estritamente crescente, ela preserva as desigualdades; assim os dois eventos são equivalentes.

Passo 5

Avaliar P(Z\geq 0) usando propriedades da normal padrão. A normal padrão é simétrica em torno de 0, o que implica que a probabilidade de ficar à direita de 0 é igual à probabilidade de ficar à esquerda de 0. Portanto
P(Z\geq 0)=\tfrac{1}{2}.
Outra forma de ver: P(Z\geq 0)=1-\Phi(0) onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão, e \Phi(0)=\tfrac{1}{2}, então 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Observação: como a distribuição é contínua, não faz diferença incluir ou não o ponto igual (ou seja, P(\boldsymbol{X}\geq 5)=P(\boldsymbol{X}>5)).

Resposta

0,5

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