Seja
. Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: temos a variável aleatória
com distribuição
. Isto significa que a média é
e a variância é
. A questão pede calcular a probabilidade
Informações relevantes listadas:
,
(logo
), e a distribuição é contínua (normal).
Passo 2
Calcular a desviância padrão: a variância dada é
, portanto a desviância padrão é
Explicação curta: a desviância padrão
é a raiz quadrada da variância e mede a dispersão típica da distribuição.
Passo 3
Definir a padronização (transformação para a normal padrão): para passar de
para a normal padrão usamos a variável
Aqui
é a média de
e
é o desvio padrão. A ideia:
tem média
e variância
quando
é normal.
Passo 4
Transformar o evento pedido em termos de
. Substituindo
e
obtemos
Pelo que definimos,
. Logo o evento é equivalente a
Explicação do passo: como a transformação
é estritamente crescente, ela preserva as desigualdades; assim os dois eventos são equivalentes.
Passo 5
Avaliar
usando propriedades da normal padrão. A normal padrão é simétrica em torno de
, o que implica que a probabilidade de ficar à direita de
é igual à probabilidade de ficar à esquerda de
. Portanto
Outra forma de ver:
onde
é a função de distribuição da normal padrão, e
, então
. Observação: como a distribuição é contínua, não faz diferença incluir ou não o ponto igual (ou seja,
).