Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
\mathrm{P}(1,7 \leq \mathbf{X} \leq 6,3)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade
\mathrm{P}(1,7 \leq \mathbf{X} \leq 6,3)
sendo dado que \mathbf{X}\sim N(5;4). Informações relevantes fornecidas:
\text{média } \mu = 5,\qquad \text{variância } \sigma^{2}=4.éâ
Da variância obtemos o desvio padrão:
\sigma=\sqrt{4}=2.
Não vamos resolver nada ainda, apenas listamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos usar a técnica de padronização (sempre útil com normais). A ideia: transformar \mathbf{X} numa variável normal padrão \mathbf{Z} (média 0, variância 1) para poder usar a tabela da normal padrão. Definição da padronização:
\mathbf{Z}=\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}.
Explicando devagar: \mu é a média de \mathbf{X} (aqui \mu=5) e \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=2). A variável \mathbf{Z} mede quantos desvios-padrão um valor de \mathbf{X} está distante da média. Depois de padronizar, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos \Phi(t)=\mathrm{P}(\mathbf{Z}\le t).

Passo 3

Transformamos o evento \{1,7\le \mathbf{X}\le 6,3\} em termos de \mathbf{Z}. Calculamos os escores z:
z_{\text{inf}}=\frac{1,7-5}{2}=\frac{-3,3}{2}=-1,65,
z_{\text{sup}}=\frac{6,3-5}{2}=\frac{1,3}{2}=0,65.
Portanto
\mathrm{P}(1,7\le \mathbf{X}\le 6,3)=\mathrm{P}(-1,65\le \mathbf{Z}\le 0,65).

Passo 4

Expressamos a probabilidade pela função \Phi:
\mathrm{P}(-1,65\le \mathbf{Z}\le 0,65)=\Phi(0,65)-\Phi(-1,65).
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Logo
\Phi(-1,65)=1-\Phi(1,65).
Agora consultamos a tabela da normal padrão (estou pegando os valores na tabela padrão): \Phi(0,65)=0,7422 e \Phi(1,65)=0,9505. Assim
\Phi(-1,65)=1-0,9505=0,0495.

Passo 5

Substituímos os valores e calculamos:
\mathrm{P}(-1,65\le \mathbf{Z}\le 0,65)=0,7422-0,0495=0,6927.
Interpretação rápida: cerca de 69{,}27\% da distribuição normal N(5,4) está entre 1{,}7 e 6{,}3. Força aí — é só aplicar padronização e olhar na tabela!

Resposta

\mathrm{P}(1,7 \leq \mathbf{X} \leq 6,3)=0,6927

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