Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
P(\mathbf{X}>2,5)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade P(\mathbf{X}>2,5) para a variável aleatória \mathbf{X} que satisfaz \mathbf{X}\sim N(5;4). Informações dadas:
\mu=5 (média),
\sigma^{2}=4 (variância), logo \sigma=2 (desvio padrão).
A pergunta é: qual a probabilidade de \mathbf{X} assumir um valor maior que 2,5.

Passo 2

Vamos transformar o evento em um evento equivalente envolvendo a distribuição normal padrão. A normal padrão é uma normal com média 0 e desvio padrão 1; denotamos por Z\sim N(0;1). A padronização (ou normalização) usa a fórmula
Z=\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Isso serve para transformar qualquer normal em uma normal padrão, o que permite usar tabelas ou funções conhecidas da normal padrão.
Aplicando ao nosso caso:
P(\mathbf{X}>2,5)=P\!\left(\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}>\frac{2,5-\mu}{\sigma}\right).
Substituindo \mu=5 e \sigma=2:
\frac{2,5-5}{2}=\frac{-2,5}{2}=-1,25.
Portanto o evento é equivalente a
P(\mathbf{X}>2,5)=P(Z>-1,25).

Passo 3

Agora usamos propriedades da normal padrão para calcular P(Z>-1,25). Seja \Phi(t) a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, isto é \Phi(t)=P(Z\le t). Usamos a simetria da normal padrão: para a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Então
P(Z>-1,25)=1-P(Z\le -1,25)=1-\Phi(-1,25).
Aplicando a relação de simetria com a=1,25:
1-\Phi(-1,25)=1-\big(1-\Phi(1,25)\big)=\Phi(1,25).
Assim chegamos à expressão simples
P(\mathbf{X}>2,5)=\Phi(1,25).

Passo 4

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1,25). Usando tabela da normal padrão ou calculadora estatística, encontra-se
\Phi(1,25)\approx 0,89435.
Arredondando em 4 casas decimais fica 0,8944. Intuição rápida: como 1,25 está bem à direita da média 0, a área acumulada até 1,25 é grande (cerca de 89{,}44\%), então a probabilidade de X ser maior que 2{,}5 é aproximadamente 89{,}44\%.

Resposta

P(\mathbf{X}>2,5)=0,8944

Exercícios relacionados