Seja
. Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos
sabendo que
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A variável aleatória é
. - A notação
indica que tem distribuição normal com média e variância . - A probabilidade solicitada é a probabilidade de
ser menor que : .
Passo 2
Esclarecimento das quantidades e por que elas importam (aula rápida):
- Para uma normal, temos dois parâmetros: média
e variância . Aqui e . - O desvio-padrão é
. - Trabalhar com a normal padrão é mais fácil: a normal padrão tem média
e desvio-padrão . A letra usada normalmente é . - Transformamos um evento sobre
num evento sobre para usar tabelas ou a função de distribuição padrão.
Passo 3
Definição da padronização (fórmula e explicação):
- Definimos a variável padronizada
- Aqui
é a média ( ) e é o desvio-padrão ( ). A ideia: subtrair a média centraliza em zero e dividir por ajusta a escala para desvio . Assim .
Passo 4
Aplicar a padronização ao ponto
:
- Calculamos o escore
correspondente a :
- Então o evento
é equivalente ao evento .
Passo 5
Relacionar as probabilidades (usando a equivalência):
Explicação: isso vale porque a transformação é monotônica (aumenta com
), então desigualdades se preservam.
Passo 6
Como obter
(leitura de tabela / calculadora) e interpretação:
- A função
é a função de distribuição da normal padrão. Para consultamos uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística. - Em tabelas usuais ou calculadoras, tem-se
- Interpretação intuitiva: estar
desvios-padrão acima da média corresponde a uma probabilidade acumulada de cerca de à esquerda.
Passo 7
Conclusão e reforço (como fazer na prova):
- Passos práticos para reproduzir na prova: (1) identifique
e ; (2) calcule ; (3) use tabela de ou calculadora para obter a probabilidade; (4) escreva o resultado. - Aqui fizemos exatamente isso e obtemos o valor numérico abaixo.