Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
P(\mathbf{X}<6)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos P(\mathbf{X}<6) sabendo que \mathbf{X}\sim N(5;4).
Informações fornecidas:
  • A variável aleatória é \mathbf{X}.
  • A notação \mathbf{X}\sim N(5;4) indica que \mathbf{X} tem distribuição normal com média 5 e variância 4.
  • A probabilidade solicitada é a probabilidade de \mathbf{X} ser menor que 6: P(\mathbf{X}<6).

Passo 2

Esclarecimento das quantidades e por que elas importam (aula rápida):
  • Para uma normal, temos dois parâmetros: média \mu e variância \sigma^2. Aqui \mu=5 e \sigma^2=4.
  • O desvio-padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2.
  • Trabalhar com a normal padrão é mais fácil: a normal padrão tem média 0 e desvio-padrão 1. A letra usada normalmente é Z.
  • Transformamos um evento sobre \mathbf{X} num evento sobre Z para usar tabelas ou a função de distribuição padrão.

Passo 3

Definição da padronização (fórmula e explicação):
  • Definimos a variável padronizada
Z=\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}.
  • Aqui \mu é a média ( 5) e \sigma é o desvio-padrão ( 2). A ideia: subtrair a média centraliza em zero e dividir por \sigma ajusta a escala para desvio 1. Assim Z\sim N(0,1).

Passo 4

Aplicar a padronização ao ponto x=6:
  • Calculamos o escore z correspondente a x=6:
z=\frac{6-\mu}{\sigma}=\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}=0,5.
  • Então o evento \{\mathbf{X}<6\} é equivalente ao evento \{Z<0,5\}.

Passo 5

Relacionar as probabilidades (usando a equivalência):
P(\mathbf{X}<6)=P\!\left(Z<0,5\right).
Explicação: isso vale porque a transformação é monotônica (aumenta com \mathbf{X}), então desigualdades se preservam.

Passo 6

Como obter P(Z<0,5) (leitura de tabela / calculadora) e interpretação:
  • A função \Phi(z)=P(Z\le z) é a função de distribuição da normal padrão. Para z=0,5 consultamos uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística.
  • Em tabelas usuais ou calculadoras, tem-se
\Phi(0,5)\approx 0,6915.
  • Interpretação intuitiva: estar 0,5 desvios-padrão acima da média corresponde a uma probabilidade acumulada de cerca de 69,15\% à esquerda.

Passo 7

Conclusão e reforço (como fazer na prova):
  • Passos práticos para reproduzir na prova: (1) identifique \mu e \sigma; (2) calcule z=(x-\mu)/\sigma; (3) use tabela de \Phi ou calculadora para obter a probabilidade; (4) escreva o resultado.
  • Aqui fizemos exatamente isso e obtemos o valor numérico abaixo.

Resposta

P(\mathbf{X}<6)=0,6915

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