Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Calcule as probabilidades solicitadas, tendo o cuidado de definir os eventos equivalentes.
P(\mathbf{X} \geq 1,8)

Passo 1

O enunciado dá que \mathbf{X}\sim\mathbf{N}(5;4) e pede a probabilidade
P(\mathbf{X}\geq 1,8).
Informações relevantes que temos:
\mu=5 (média), \sigma^{2}=4 (variância). O objetivo é calcular a probabilidade de \mathbf{X} ser maior ou igual a 1,8.

Passo 2

Entendendo os parâmetros: para uma variável normal \mathbf{X}\sim\mathbf{N}(\mu;\sigma^{2}),
  • \mu é o valor esperado (o centro da distribuição);
  • \sigma^{2} é a variância; o desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Aqui temos \mu=5 e \sigma^{2}=4, portanto
\sigma=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Para calcular probabilidades com a normal usamos a padronização (transformar em normal padrão).
Definimos a variável padrão
Z=\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma},
onde Z\sim N(0;1) (média zero e variância um). O evento \{\mathbf{X}\geq 1,8\} é equivalente ao evento em Z:
\{\mathbf{X}\geq 1,8\} \Longleftrightarrow \left\{\frac{\mathbf{X}-\mu}{\sigma}\geq \frac{1,8-\mu}{\sigma}\right\}.
Calculando a constante:
\frac{1,8-\mu}{\sigma}=\frac{1,8-5}{2}=\frac{-3,2}{2}=-1,6.
Logo
P(\mathbf{X}\geq 1,8)=P\big(Z\geq -1,6\big).

Passo 4

Agora usamos propriedades da normal padrão. Seja \Phi(t)=P(Z\leq t) a função de distribuição acumulada da normal padrão. Temos
P(Z\geq -1,6)=1-P(Z\leq -1,6)=1-\Phi(-1,6).
Usando simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Aplicando isso:
1-\Phi(-1,6)=1-\big(1-\Phi(1,6)\big)=\Phi(1,6).
Portanto a probabilidade que queremos é \Phi(1,6), isto é, o valor da função de distribuição da normal padrão em 1,6.

Passo 5

Para obter o valor numérico consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora). A tabela fornece \Phi(1,6). Esse valor numérico é a resposta final que vou fornecer na seção de resposta.

Resposta

P(\mathbf{X}\geq 1,8)=0,9452

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