Seja X a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. Calcule:
(a) A área da calota de altura h (com respeito ao polo norte) em X.
(b) \iint_{S} x y z d S, onde S é a porção de X descrita no exercício 4(a).

Passo 1

O enunciado dá a esfera X de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}. Pede duas coisas:
  • (a) calcular a área da calota esférica de altura h medida a partir do polo norte;
  • (b) calcular \iint_{S} x y z\,dS, onde S é a porção de X correspondente à calota do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A esfera tem raio a.
  • A calota tem altura h, isto é, o plano que corta a esfera tem coordenada z=a-h (a partir do polo norte z=a descemos uma distância h).
  • A calota é a região da esfera com z variando de a-h até a.

Passo 2

Vamos parametrizar a esfera por coordenadas esféricas (ângulo polar \varphi contado a partir do eixo z no polo norte e ângulo azimutal \theta no plano xy):
\begin{aligned} x &= a\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= a\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= a\cos\varphi, \end{aligned}
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi). Explicando as variáveis:
  • \varphi é o ângulo entre o raio posição e o eixo z (no polo norte \varphi=0);
  • \theta é o ângulo no plano xy (como em coordenadas polares).
    A fronteira da calota corresponde ao ponto onde z=a-h. Como z=a\cos\varphi, o ângulo limite \phi_0 satisfaz
\cos\phi_0=\frac{a-h}{a}=1-\frac{h}{a}.
Portanto, para a calota temos os limites \varphi\in[0,\phi_0] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Preciso da expressão do elemento de área superficial dS na parametrização. Seja
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=a(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi).
Calculo as derivadas parciais:
\mathbf{r}_\varphi=a(\cos\varphi\cos\theta,\\ \cos\varphi\sin\theta,\\\ -\sin\varphi),
\mathbf{r}_\theta=a(-\sin\varphi\sin\theta,\\ \sin\varphi\cos\theta,\\\ 0).
O elemento de área é \,dS=|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta|\,d\varphi\,d\theta.
Calculo o produto vetorial (componentes):
\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta =a^{2}\big(\sin^{2}\varphi\cos\theta,\\ \sin^{2}\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi\sin\varphi\big).
A magnitude é
|\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta| = a^{2}\sqrt{\sin^{4}\varphi+\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi} = a^{2}\sin\varphi,
pois \sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi]. Logo
dS = a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Essa fórmula é muito útil: em uma esfera de raio a, o elemento de área é a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Agora calculo a área da calota de altura h. A área A é a integral dupla sobre \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\phi_0] de dS:
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\phi_0} a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em \varphi primeiro:
\int_{0}^{\phi_0}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\phi_0.
Logo
A = a^{2}\cdot\bigg(\int_{0}^{2\pi} d\theta\bigg)\cdot(1-\cos\phi_0) = 2\pi a^{2}(1-\cos\phi_0).
Agora substituo \cos\phi_0 = 1-\dfrac{h}{a}:
A = 2\pi a^{2}\left(1-\left(1-\frac{h}{a}\right)\right) = 2\pi a^{2}\cdot\frac{h}{a} = 2\pi a h.
Portanto a área da calota de altura h é 2\pi a h. (Essa é uma fórmula clássica: área de calota esférica depende linearmente de h.)

Passo 5

Agora calculo \iint_{S} x y z\,dS sobre a mesma calota S. Substituo as parametrizações e o elemento dS:
x y z = (a\sin\varphi\cos\theta)(a\sin\varphi\sin\theta)(a\cos\varphi) = a^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando por dS=a^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta obtemos o integrando total:
x y z\,dS = a^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.
Portanto a integral é
\iint_{S} x y z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\phi_0} a^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\,d\varphi\,d\theta.
Posso separar as integrais em \varphi e \theta porque o integrando é produto de função de \varphi e função de \theta:
\iint_{S} x y z\,dS = a^{5}\left(\int_{0}^{\phi_0}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).
Note que
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 0,
pois \sin(2\theta) tem integral zero em um período inteiro. Assim o produto das integrais é zero, independente do valor da integral em \varphi. Portanto
\iint_{S} x y z\,dS = 0.
Uma observação intuitiva alternativa (sem cálculo): a função xy z muda de sinal quando \theta é substituído por \theta+\pi/2 (ou, mais simples, ao refletir em um dos planos coordenados), e a calota é simétrica em \theta, então as contribuições positivas e negativas se cancelam, resultando em zero.

Resposta

\displaystyle A_{\text{calota}} = 2\pi a h
\displaystyle \iint_{S} x y z\,dS = 0

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