Seja
a esfera
. Calcule:
(a) A área da calota de altura
(com respeito ao polo norte) em
.
(b)
, onde
é a porção de
descrita no exercício 4(a).
(a) A área da calota de altura
(b)
Passo 1
O enunciado dá a esfera
de equação
. Pede duas coisas:
- (a) calcular a área da calota esférica de altura
medida a partir do polo norte; - (b) calcular
, onde é a porção de correspondente à calota do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A esfera tem raio
. - A calota tem altura
, isto é, o plano que corta a esfera tem coordenada (a partir do polo norte descemos uma distância ). - A calota é a região da esfera com
variando de até .
Passo 2
Vamos parametrizar a esfera por coordenadas esféricas (ângulo polar
contado a partir do eixo
no polo norte e ângulo azimutal
no plano
):
com
e
. Explicando as variáveis:
-
é o ângulo entre o raio posição e o eixo (no polo norte ); -
é o ângulo no plano (como em coordenadas polares).
A fronteira da calota corresponde ao ponto onde. Como , o ângulo limite satisfaz
Portanto, para a calota temos os limites
e
.
Passo 3
Preciso da expressão do elemento de área superficial
na parametrização. Seja
Calculo as derivadas parciais:
O elemento de área é
.
Calculo o produto vetorial (componentes):
Calculo o produto vetorial (componentes):
A magnitude é
pois
para
. Logo
Essa fórmula é muito útil: em uma esfera de raio
, o elemento de área é
.
Passo 4
Agora calculo a área da calota de altura
. A área
é a integral dupla sobre
e
de
:
Faço a integral em
primeiro:
Logo
Agora substituo
:
Portanto a área da calota de altura
é
. (Essa é uma fórmula clássica: área de calota esférica depende linearmente de
.)
Passo 5
Agora calculo
sobre a mesma calota
. Substituo as parametrizações e o elemento
:
Multiplicando por
obtemos o integrando total:
Portanto a integral é
Posso separar as integrais em
e
porque o integrando é produto de função de
e função de
:
Note que
pois
tem integral zero em um período inteiro. Assim o produto das integrais é zero, independente do valor da integral em
. Portanto
Uma observação intuitiva alternativa (sem cálculo): a função
muda de sinal quando
é substituído por
(ou, mais simples, ao refletir em um dos planos coordenados), e a calota é simétrica em
, então as contribuições positivas e negativas se cancelam, resultando em zero.