Seja
a circunferência com centro na origem e raio
. Calcule
com
sendo percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a circunferência centrada na origem de raio
, percorrida no sentido anti-horário.
Informações dadas e observações imediatas:
- A curva
é o conjunto de pontos . - Ao percorrer
temos constante. - O que se pede é o valor da integral de linha fechada acima.
Passo 2
Primeiro reconhecimento algébrico útil (uma identidade simples de diferenciação).
Calcule a diferencial de
. Pela regra da diferenciação termo a termo temos
Dividindo por
obtemos a identidade
Explicação didática breve: quando escrever
está-se usando a ideia do diferencial total. A diferencial de uma função
é
. Aqui
tem
e
, daí a identidade acima.
Passo 3
Use a substituição
. Então
e, pela identidade do passo anterior,
Substituindo na integral obtemos
Agora note que
é a diferencial exata de
porque
Explicação didática: uma forma
é chamada exata porque existe uma função
cuja diferencial é aquela forma. Se a forma integranda é a diferencial de
, então a integral de linha ao longo de qualquer curva de
até
vale
. No caso de uma curva fechada, os pontos inicial e final coincidem, portanto a integral de uma diferencial exata sobre uma curva fechada é nula (porque
). Aqui
funciona e é perfeitamente contínua e diferenciável em toda parte, então não há problema de multivaluação.
Passo 4
Verificação concreta por parametrização (modo mais “computacional” que dá intuição).
Parametrize
por
Então
Calcule
:
Logo o fator
é identicamente nulo ao longo de
, de modo que a integranda é zero ponto a ponto na parametrização. Integrando ao longo de
obtém-se integral nula.
Passo 5
Resumo lógico dos dois argumentos apresentados:
- Pelo argumento da diferencial exata, a integranda é
, e a integral de uma diferencial exata sobre uma curva fechada é zero. - Pelo argumento da parametrização,
vale zero para toda a circunferência , tornando a integranda identicamente zero ao longo de .
Ambas as vias confirmam o mesmo resultado final.