Seja C a circunferência com centro na origem e raio R. Calcule
\oint_{C} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)(x d x+y d y)
com C sendo percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl(x\,dx+y\,dy\bigr)
onde C é a circunferência centrada na origem de raio R, percorrida no sentido anti-horário.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A curva C é o conjunto de pontos \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=R^{2}\}.
  • Ao percorrer C temos \,x^{2}+y^{2}=R^{2} constante.
  • O que se pede é o valor da integral de linha fechada acima.

Passo 2

Primeiro reconhecimento algébrico útil (uma identidade simples de diferenciação).
Calcule a diferencial de x^{2}+y^{2}. Pela regra da diferenciação termo a termo temos
d\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2x\,dx+2y\,dy.
Dividindo por 2 obtemos a identidade
x\,dx+y\,dy=\tfrac{1}{2}\,d\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Explicação didática breve: quando escrever d(\cdot) está-se usando a ideia do diferencial total. A diferencial de uma função u(x,y) é \partial_x u\,dx+\partial_y u\,dy. Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2} tem \partial_x u=2x e \partial_y u=2y, daí a identidade acima.

Passo 3

Use a substituição u=x^{2}+y^{2}. Então du=d\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) e, pela identidade do passo anterior,
x\,dx+y\,dy=\tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral obtemos
\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl(x\,dx+y\,dy\bigr) = \cos(u)\,\tfrac{1}{2}\,du=\tfrac{1}{2}\cos(u)\,du.
Agora note que \tfrac{1}{2}\cos(u)\,du é a diferencial exata de \tfrac{1}{2}\sin(u) porque
d\!\left(\tfrac{1}{2}\sin(u)\right)=\tfrac{1}{2}\cos(u)\,du.
Explicação didática: uma forma dF é chamada exata porque existe uma função F cuja diferencial é aquela forma. Se a forma integranda é a diferencial de F, então a integral de linha ao longo de qualquer curva de A até B vale F(B)-F(A). No caso de uma curva fechada, os pontos inicial e final coincidem, portanto a integral de uma diferencial exata sobre uma curva fechada é nula (porque F(\text{final})-F(\text{inicial})=0). Aqui F(x,y)=\tfrac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) funciona e é perfeitamente contínua e diferenciável em toda parte, então não há problema de multivaluação.

Passo 4

Verificação concreta por parametrização (modo mais “computacional” que dá intuição).
Parametrize C por
x=R\cos t,\qquad y=R\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-R\sin t\,dt,\qquad dy=R\cos t\,dt.
Calcule x\,dx+y\,dy:
x\,dx+y\,dy =R\cos t\cdot(-R\sin t\,dt)+R\sin t\cdot(R\cos t\,dt) = -R^{2}\cos t\sin t\,dt + R^{2}\sin t\cos t\,dt = 0\cdot dt.
Logo o fator x\,dx+y\,dy é identicamente nulo ao longo de C, de modo que a integranda é zero ponto a ponto na parametrização. Integrando ao longo de t\in[0,2\pi] obtém-se integral nula.

Passo 5

Resumo lógico dos dois argumentos apresentados:
  • Pelo argumento da diferencial exata, a integranda é d\!\bigl(\tfrac{1}{2}\sin(x^{2}+y^{2})\bigr), e a integral de uma diferencial exata sobre uma curva fechada é zero.
  • Pelo argumento da parametrização, x\,dx+y\,dy vale zero para toda a circunferência C, tornando a integranda identicamente zero ao longo de C.
Ambas as vias confirmam o mesmo resultado final.

Resposta

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