Seja C a circunferência |z|=2 orientada positivamente e parametrizada por \gamma(t)=2 e^{\mathrm{i} t}, 0 \leq t \leq 2 \pi. Calcule
\int_{C} \bar{z} d z \quad \text { e } \quad \int_{C} \frac{1}{z} d z
(Dica: em |z|=2 vale \bar{z}=\frac{4}{z}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais de linha complexas sobre a circunferência C dada por |z|=2, orientada positivamente, com parametrização
\gamma(t)=2e^{\mathrm{i}t},\qquad 0\le t\le 2\pi.
As duas integrais pedidas são
\int_{C}\bar{z}\,dz \qquad\text{e}\qquad \int_{C}\frac{1}{z}\,dz.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C é o círculo de raio 2 centrado na origem, completado uma vez no sentido anti-horário (orientação positiva).
  • A dica afirma que, para pontos sobre |z|=2, vale \bar{z}=\dfrac{4}{z}.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Lembrete sobre como calcular integrais de linha complexas pela parametrização (a ferramenta básica aqui). Se z=\gamma(t) para t\in[a,b], então
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.
Aqui \gamma(t)=2e^{\mathrm{i}t}, então calculemos a derivada:
\gamma'(t)=2\mathrm{i} e^{\mathrm{i}t}.
Vou usar essa fórmula em ambas as integrais. Essa é a definição prática que se aplica direto na prova: substitui z por \gamma(t) e integra em t.

Passo 3

Usar a dica para simplificar a integral com \bar{z}. Em qualquer ponto do círculo |z|=2 temos
z\bar{z}=|z|^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad \bar{z}=\frac{4}{z}.
Portanto a primeira integral se transforma em
\int_{C}\bar{z}\,dz = \int_{C}\frac{4}{z}\,dz = 4\int_{C}\frac{1}{z}\,dz.
Ou seja, basta calcular \int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz; a primeira integral será quatro vezes essa.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{C}\frac{1}{z}\,dz pela parametrização. Substituindo z=\gamma(t)=2e^{\mathrm{i}t} e \gamma'(t)=2\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}:
\frac{1}{z}=\frac{1}{2e^{\mathrm{i}t}}=\frac{1}{2}e^{-\mathrm{i}t}, \qquad dz=\gamma'(t)\,dt=2\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt.
Multiplicando:
\frac{1}{z}\,dz = \left(\frac{1}{2}e^{-\mathrm{i}t}\right)\left(2\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\right)dt = \mathrm{i}\,dt.
Agora integramos em t de 0 a 2\pi:
\int_{C}\frac{1}{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,dt = \mathrm{i}\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi \mathrm{i}.
Observação teórica rápida (útil na prova): esse resultado coincide com o lema geral de contorno de Cauchy para a função 1/z: \displaystyle\oint_{C}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi\mathrm{i} vezes o índice de enrolamento de C em torno da origem; para o círculo positivamente orientado o índice é 1.

Passo 5

Voltar à primeira integral usando o resultado do passo anterior. Como \displaystyle\int_{C}\bar{z}\,dz = 4\int_{C}\frac{1}{z}\,dz e \displaystyle\int_{C}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi \mathrm{i}, obtemos
\int_{C}\bar{z}\,dz = 4\cdot 2\pi \mathrm{i} = 8\pi \mathrm{i}.
Comentário prático: é sempre bom checar orientação; se a curva tivesse orientação negativa, os sinais invertiam.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\bar{z}\,dz = 8\pi \mathrm{i}
\displaystyle \int_{C}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi \mathrm{i}

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