Seja
a circunferência
orientada positivamente e parametrizada por
,
. Calcule
(Dica: em
vale
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais de linha complexas sobre a circunferência
dada por
, orientada positivamente, com parametrização
As duas integrais pedidas são
Informações relevantes fornecidas:
- A curva
é o círculo de raio centrado na origem, completado uma vez no sentido anti-horário (orientação positiva). - A dica afirma que, para pontos sobre
, vale .
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Lembrete sobre como calcular integrais de linha complexas pela parametrização (a ferramenta básica aqui). Se
para
, então
Aqui
, então calculemos a derivada:
Vou usar essa fórmula em ambas as integrais. Essa é a definição prática que se aplica direto na prova: substitui
por
e integra em
.
Passo 3
Usar a dica para simplificar a integral com
. Em qualquer ponto do círculo
temos
Portanto a primeira integral se transforma em
Ou seja, basta calcular
; a primeira integral será quatro vezes essa.
Passo 4
Calcular
pela parametrização. Substituindo
e
:
Multiplicando:
Agora integramos em
de
a
:
Observação teórica rápida (útil na prova): esse resultado coincide com o lema geral de contorno de Cauchy para a função
:
vezes o índice de enrolamento de
em torno da origem; para o círculo positivamente orientado o índice é
.
Passo 5
Voltar à primeira integral usando o resultado do passo anterior. Como
e
, obtemos
Comentário prático: é sempre bom checar orientação; se a curva tivesse orientação negativa, os sinais invertiam.