Seja
o conjunto dos vetores de
com as 3 últimas entradas idênticas. A dimensão de
é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subconjunto
de
formado por todos os vetores cujas três últimas coordenadas são idênticas. Em outras palavras, identificar quantos graus de liberdade (ou parâmetros independentes) têm os vetores de
e, portanto, qual é a dimensão de
. As opções dadas são
2,
3,
4,
5,
6,
7.
Passo 2
Descrever genericamente um vetor de
. Seja um vetor arbitrário de
A condição do conjunto
é que as três últimas entradas sejam iguais, isto é,
Logo todo vetor de
pode ser escrito como
onde
. Aqui as quatro letras
são os parâmetros que determinam completamente o vetor.
Passo 3
Interpretação dos parâmetros: como um vetor de
é determinado por quatro números reais (
), isso sugere que a dimensão de
é, no máximo,
. Para concluir que a dimensão é exatamente
precisamos exibir quatro vetores de
que sejam linearmente independentes e que gerem todo
(ou seja, formar uma base de
).
Passo 4
Proponho quatro vetores de
que pertencem a
:
Verificar que qualquer vetor genérico de
é combinação linear desses quatro vetores. De fato,
que é exatamente um vetor arbitrário de
. Portanto
gera
.
Passo 5
Mostrar que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Comparando coordenada a coordenada:
- Nas três primeiras coordenadas obtemos
, , . - Nas últimas três coordenadas, todas iguais, obtemos
.
Logo, o que prova a independência linear.
Passo 6
Conclusão: exibimos quatro vetores que geram
e são linearmente independentes, portanto formam uma base de
. Assim a dimensão de
é
. Dica prática para a prova: quando um subespaço é definido por igualdades entre coordenadas, conte os parâmetros livres e, se for necessário, exponha uma base simples como fiz acima.
Resposta
(C) 4