Seja C o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{6} com as 3 últimas entradas idênticas. A dimensão de C é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subconjunto C de \mathbb{R}^{6} formado por todos os vetores cujas três últimas coordenadas são idênticas. Em outras palavras, identificar quantos graus de liberdade (ou parâmetros independentes) têm os vetores de C e, portanto, qual é a dimensão de C. As opções dadas são (A) 2, (B) 3, \text{(C)} 4, (D) 5, (E) 6, (F) 7.

Passo 2

Descrever genericamente um vetor de C. Seja um vetor arbitrário de \mathbb{R}^{6}
(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6).
A condição do conjunto C é que as três últimas entradas sejam iguais, isto é,
v_4=v_5=v_6.
Logo todo vetor de C pode ser escrito como
(x_1,x_2,x_3,a,a,a),
onde x_1,x_2,x_3,a\in\mathbb{R}. Aqui as quatro letras x_1,x_2,x_3,a são os parâmetros que determinam completamente o vetor.

Passo 3

Interpretação dos parâmetros: como um vetor de C é determinado por quatro números reais ( x_1,x_2,x_3,a), isso sugere que a dimensão de C é, no máximo, 4. Para concluir que a dimensão é exatamente 4 precisamos exibir quatro vetores de C que sejam linearmente independentes e que gerem todo C (ou seja, formar uma base de C).

Passo 4

Proponho quatro vetores de \mathbb{R}^{6} que pertencem a C:
b_1=(1,0,0,0,0,0), \qquad b_2=(0,1,0,0,0,0),
b_3=(0,0,1,0,0,0), \qquad b_4=(0,0,0,1,1,1).
Verificar que qualquer vetor genérico de C é combinação linear desses quatro vetores. De fato,
x_1 b_1 + x_2 b_2 + x_3 b_3 + a b_4 = (x_1,x_2,x_3,a,a,a),
que é exatamente um vetor arbitrário de C. Portanto \{b_1,b_2,b_3,b_4\} gera C.

Passo 5

Mostrar que \{b_1,b_2,b_3,b_4\} é linearmente independente. Suponha que existam escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in\mathbb{R} tais que
\alpha_1 b_1 + \alpha_2 b_2 + \alpha_3 b_3 + \alpha_4 b_4 = (0,0,0,0,0,0).
Comparando coordenada a coordenada:
  • Nas três primeiras coordenadas obtemos \alpha_1=0, \alpha_2=0, \alpha_3=0.
  • Nas últimas três coordenadas, todas iguais, obtemos \alpha_4=0.
    Logo \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0, o que prova a independência linear.

Passo 6

Conclusão: exibimos quatro vetores que geram C e são linearmente independentes, portanto formam uma base de C. Assim a dimensão de C é 4. Dica prática para a prova: quando um subespaço é definido por igualdades entre coordenadas, conte os parâmetros livres e, se for necessário, exponha uma base simples como fiz acima.

Resposta

(C) 4

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