(Questão 01)[4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) (\vec{v}, \vec{w}) LI, então proj _{\vec{w}} \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Se A, B e C são pontos colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LD} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LD}, para qualquer vetor \vec{w}.
( ) \vec{u} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) LI \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LI, para qualquer vetor \vec{w}.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
( ) Se E e F são bases, \operatorname{det}\left(M_{E F}\right) \neq 0.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq\|\vec{u}\|\|\mid \vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado pede para marcar \mathbf{F} (falso) ou \mathbf{V} (verdadeiro) em oito afirmações sobre vetores. As oito afirmações são (na ordem dada):
  1. (\vec{v}, \vec{w}) LI, então \operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w}.
  2. Se A, B e C são pontos colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
  3. (\vec{u}, \vec{v}) LD \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LD, para qualquer vetor \vec{w}.
  4. \vec{u}\wedge\vec{v}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \vec{u}//\vec{v}.
  5. (\vec{u}, \vec{v}) LI \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LI, para qualquer vetor \vec{w}.
  6. \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u}//\vec{v}.
  7. Se E e F são bases, \det\bigl(M_{EF}\bigr)\neq0.
  8. Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},\;|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|.

Passo 2

Analisando a afirmação 1. Primeiro, a fórmula da projeção de \vec{v} sobre \vec{w} é
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\;\vec{w}.
Analogamente,
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v}.
Para as duas projeções serem iguais precisaríamos de
\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\;\vec{w}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v}.
Isto não ocorre em geral quando (\vec{v},\vec{w}) são linearmente independentes. Um contraexemplo simples: tome \vec{v}=(1,0) e \vec{w}=(1,1). Então
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\frac{1}{2}(1,1)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), \qquad \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=(1,0),
que são diferentes. Conclusão: a afirmação 1 é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação 2. Três pontos A,B,C colineares significam que estão sobre a mesma reta, mas pode acontecer que B não esteja entre A e C. A igualdade
\|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|
vale apenas quando B está entre A e C. Contraexemplo: escolha A=(0,0), B=(2,0), C=(1,0). Então
\|\overrightarrow{AC}\|=1,\qquad \|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|=2+1=3,
logo a igualdade não vale em geral. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação 3. Se (\vec{u},\vec{v}) é linearmente dependente então existe \alpha tal que \vec{u}=\alpha\vec{v} (ou um dos vetores é o zero). Isso significa que já existe uma combinação linear não trivial que anula \vec{u} e \vec{v}, por exemplo \vec{u}-\alpha\vec{v}=\overrightarrow{0}. Ao acrescentar qualquer vetor \vec{w} basta atribuir coeficiente zero a \vec{w} nessa combinação não trivial, portanto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) também será linearmente dependente. Em palavras: qualquer conjunto que contenha um subconjunto dependente é dependente. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação 4. Aqui \vec{u}\wedge\vec{v} é o produto vetorial (cross product). Propriedade padrão em \mathbb{R}^3: \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} se, e somente se, \vec{u} e \vec{v} são paralelos (ou um é o vetor zero). Demonstração rápida: se são paralelos então os vetores estão na mesma direção e o produto vetorial, que mede a área do paralelogramo formado, é nulo; recíprocamente, se o produto vetorial é nulo a área é zero, logo as direções coincidem. Observação: isto pressupõe o produto vetorial em \mathbb{R}^3. Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 5. Se (\vec{u},\vec{v}) são linearmente independentes, isso significa que formam uma base de um plano (assumindo espaço \mathbb{R}^2 ou subespaço de dimensão 2). Ao acrescentar um vetor \vec{w}, esse \vec{w} pode muito bem pertencer ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}; nesse caso o conjunto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) será linearmente dependente. Contraexemplo simples em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(1,0,0),\\ \vec{v}=(0,1,0),\\ \vec{w}=(1,0,0). Aqui (\vec{u},\vec{v}) é LI, mas \vec{w}=\vec{u} implica dependência. Portanto a afirmação 5 é falsa.

Passo 7

Analisando a afirmação 6. A condição \vec{u}\cdot\vec{v}=0 significa que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (perpendiculares), não paralelos. Assim a equivalência com \vec{u}//\vec{v} é falsa. Contraexemplo: \vec{u}=(1,0),\\ \vec{v}=(0,1) têm produto escalar 0 mas não são paralelos. Conclusão: a afirmação 6 é falsa.

Passo 8

Analisando a afirmação 7. Se E e F são bases de um mesmo espaço vetorial finito, a matriz de mudança de base M_{EF} representa uma aplicação linear invertível (leva coordenadas em F para coordenadas em E), logo essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo. Portanto \det\bigl(M_{EF}\bigr)\neq0. Conclusão: a afirmação 7 é verdadeira.

Passo 9

Analisando a afirmação 8. Esta é a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Uma prova curta e didática: para todo t\in\mathbb{R} vale \|\vec{u}-t\vec{v}\|^2\ge 0. Expandindo,
\|\vec{u}\|^2-2t(\vec{u}\cdot\vec{v})+t^2\|\vec{v}\|^2\ge0
como polinômio em t. O discriminante desta quadrática em t deve ser \le0, ou também podemos minimizar a expressão em t escolhendo t=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}. Substituindo esse t obtém-se
0\le \|\vec{u}\|^2-\frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})^2}{\|\vec{v}\|^2}
o que dá
(\vec{u}\cdot\vec{v})^2\le \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2.
Tirando raiz positiva,
|\vec{u}\cdot\vec{v}|\le \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|.
Portanto a afirmação 8 é verdadeira.

Resposta

F
F
V
V
F
F
V
V

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