(Questão 01)[4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) (\vec{v}, \vec{w}) LI, então proj _{\vec{w}} \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Se A, B e C são pontos colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LD} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LD}, para qualquer vetor \vec{w}.
( ) \vec{u} \wedge \vec{v}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) LI \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LI, para qualquer vetor \vec{w}.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
( ) Se E e F são bases, \operatorname{det}\left(M_{E F}\right) \neq 0.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq\|\vec{u}\|\|\mid \vec{v}\|.
Passo 1
O enunciado pede para marcar \mathbf{F} (falso) ou \mathbf{V} (verdadeiro) em oito afirmações sobre vetores. As oito afirmações são (na ordem dada):
(\vec{v}, \vec{w}) LI, então \operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w}.
Se A, B e C são pontos colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
(\vec{u}, \vec{v}) LD \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LD, para qualquer vetor \vec{w}.
que são diferentes. Conclusão: a afirmação 1 é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação 2. Três pontos A,B,C colineares significam que estão sobre a mesma reta, mas pode acontecer que B não esteja entre A e C. A igualdade
logo a igualdade não vale em geral. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação 3. Se (\vec{u},\vec{v}) é linearmente dependente então existe \alpha tal que \vec{u}=\alpha\vec{v} (ou um dos vetores é o zero). Isso significa que já existe uma combinação linear não trivial que anula \vec{u} e \vec{v}, por exemplo \vec{u}-\alpha\vec{v}=\overrightarrow{0}. Ao acrescentar qualquer vetor \vec{w} basta atribuir coeficiente zero a \vec{w} nessa combinação não trivial, portanto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) também será linearmente dependente. Em palavras: qualquer conjunto que contenha um subconjunto dependente é dependente. Conclusão: a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação 4. Aqui \vec{u}\wedge\vec{v} é o produto vetorial (cross product). Propriedade padrão em \mathbb{R}^3: \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} se, e somente se, \vec{u} e \vec{v} são paralelos (ou um é o vetor zero). Demonstração rápida: se são paralelos então os vetores estão na mesma direção e o produto vetorial, que mede a área do paralelogramo formado, é nulo; recíprocamente, se o produto vetorial é nulo a área é zero, logo as direções coincidem. Observação: isto pressupõe o produto vetorial em \mathbb{R}^3. Conclusão: a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 5. Se (\vec{u},\vec{v}) são linearmente independentes, isso significa que formam uma base de um plano (assumindo espaço \mathbb{R}^2 ou subespaço de dimensão 2). Ao acrescentar um vetor \vec{w}, esse \vec{w} pode muito bem pertencer ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}; nesse caso o conjunto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) será linearmente dependente. Contraexemplo simples em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(1,0,0),\\ \vec{v}=(0,1,0),\\ \vec{w}=(1,0,0). Aqui (\vec{u},\vec{v}) é LI, mas \vec{w}=\vec{u} implica dependência. Portanto a afirmação 5 é falsa.
Passo 7
Analisando a afirmação 6. A condição \vec{u}\cdot\vec{v}=0 significa que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (perpendiculares), não paralelos. Assim a equivalência com \vec{u}//\vec{v} é falsa. Contraexemplo: \vec{u}=(1,0),\\ \vec{v}=(0,1) têm produto escalar 0 mas não são paralelos. Conclusão: a afirmação 6 é falsa.
Passo 8
Analisando a afirmação 7. Se E e F são bases de um mesmo espaço vetorial finito, a matriz de mudança de base M_{EF} representa uma aplicação linear invertível (leva coordenadas em F para coordenadas em E), logo essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo. Portanto \det\bigl(M_{EF}\bigr)\neq0. Conclusão: a afirmação 7 é verdadeira.
Passo 9
Analisando a afirmação 8. Esta é a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Uma prova curta e didática: para todo t\in\mathbb{R} vale \|\vec{u}-t\vec{v}\|^2\ge 0. Expandindo,
como polinômio em t. O discriminante desta quadrática em t deve ser \le0, ou também podemos minimizar a expressão em t escolhendo t=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}. Substituindo esse t obtém-se