Seja C a curva definida por sigma(t)=(2 cos t, 1+2 sin t). Determine uma equação da reta normal à curva no ponto (raiz3, 2).

Passo 1

Temos a curva paramétrica sigma(t)=(2cos t,,1+2sin t) e queremos a reta normal no ponto (raiz3,2). O conteúdo aqui é curva paramétrica e reta normal, então vamos achar o parâmetro correspondente, calcular o vetor tangente, determinar o coeficiente angular normal e, por fim, escrever a equação da reta.

Passo 2

Para encontrar o parâmetro t0 tal que sigma(t0)=(raiz3,2), resolvemos o sistema:
2cos t0=raiz3, 1+2sin t0=2

Passo 3

Da primeira equação cos t0=tfracraiz32 e da segunda sin t0=tfrac12. A solução comum é t0=tfracpi6.

Passo 4

Calculamos o vetor tangente sigma'(t)=(-2sin t,,2cos t). Em t0=tfracpi6 fica
sigma'(tfracpi6)=(-2tfrac12,,2tfracraiz32)=(-1,,raiz3)

Passo 5

O coeficiente angular da tangente é mrm tan=tfracraiz3-1=-raiz3. Logo o coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso:
mrm norm=tfrac1raiz3

Passo 6

A equação da reta normal no ponto (raiz3,2) é dada por
y-2=tfrac1raiz3(x-raiz3)

Resposta

y-2=tfrac1raiz3(x-raiz3)

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