(4,0) Resolver os itens abaixo considerando a equação diferencial \left(5 x+6 x^{2} y\right) d x+x^{3} d y=0.
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Calcular o quociente \frac{M_{y}-N_{x}}{N} e encontrar um fator integrante \mu(x) que transforma a equação dada em uma equação exata.
Encontrar a solução geral desta equação.
Encontrar a solução explícita para o PVI: \left(5 x+6 x^{2} y\right) d x+x^{3} d y=0, y(1)=3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(5 x+6 x^{2} y\right)\,dx + x^{3}\,dy = 0.
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que a equação não é exata.
  • (b) Calcular o quociente \dfrac{M_{y}-N_{x}}{N} e encontrar um fator integrante \mu(x) que transforme a equação em exata.
  • Encontrar a solução geral da equação (equação implícita ou explícita para y).
  • Encontrar a solução explícita que satisfaz o problema de valor inicial (PVI) y(1)=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar M(x,y)=5x+6x^{2}y e N(x,y)=x^{3}.
  • Note que a equação envolve potências de x e y; a variável x=0 pode ser singular (usaremos fatores integrantes que exigem x\neq0).

Passo 2

Checar exatidão (mostrar que não é exata).
Definição curta (para usar): a equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
em uma região onde M,N são diferenciáveis.
Calculemos as derivadas parciais:
M(x,y)=5x+6x^{2}y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y}=6x^{2}.
N(x,y)=x^{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=6x^{2}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2},
temos \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x. Portanto a equação NÃO é exata. (Isto responde o item (a).)

Passo 3

Calcular o quociente \dfrac{M_{y}-N_{x}}{N} e justificar a busca por um fator integrante \mu(x).
Compute:
\frac{M_{y}-N_{x}}{N} = \frac{6x^{2}-3x^{2}}{x^{3}} = \frac{3x^{2}}{x^{3}} = \frac{3}{x}.
Observe que este quociente depende apenas de x (não depende de y). Quando \dfrac{M_{y}-N_{x}}{N} é função somente de x, existe um fator integrante que depende só de x: \mu=\mu(x).
Breve justificativa da fórmula para \mu(x):
Se \mu=\mu(x) então a nova equação \mu M\,dx + \mu N\,dy=0 deve ser exata, ou seja
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Como \mu depende só de x, isso dá
\mu\,M_{y} = \mu'\,N + \mu\,N_{x}.
Rearranjando:
\frac{\mu'}{\mu} = \frac{M_{y}-N_{x}}{N}.
Portanto, sabendo que o lado direito é \dfrac{3}{x}, integrando obtemos \ln\mu = \int \dfrac{3}{x}\,dx = 3\ln|x| + \text{const}, isto é
\mu(x)=e^{3\ln|x|}=|x|^{3}.
Para trabalhar com o PVI em x=1 (onde x>0) podemos escolher simplesmente
\mu(x)=x^{3}.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \mu(x)=x^{3} e verificar exatidão.
Multiplicando termo a termo:
\mu M = x^{3}(5x+6x^{2}y)=5x^{4}+6x^{5}y,
\mu N = x^{3}\cdot x^{3}=x^{6}.
Calcule as parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=6x^{5}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=6x^{5}.
Como são iguais, a equação multiplicada por x^{3},
(5x^{4}+6x^{5}y)\,dx + x^{6}\,dy = 0,
é exata.

Passo 5

Encontrar a função potencial \Psi(x,y) cuja diferencial total é \Psi_x\,dx + \Psi_y\,dy = 0, e obter a solução geral implícita.
Pelo procedimento padrão: integrar \Psi_x=\mu M = 5x^{4}+6x^{5}y em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int (5x^{4}+6x^{5}y)\,dx = \int 5x^{4}\,dx + \int 6x^{5}y\,dx.
Calcule separadamente:
\int 5x^{4}\,dx = x^{5}, \qquad \int 6x^{5}y\,dx = y\int 6x^{5}\,dx = y\cdot x^{6}.
Logo
\Psi(x,y)=x^{5}+x^{6}y + h(y),
onde h(y) é uma função somente de y (constante de integração "dependente de y").
Agora imponha \Psi_y = \mu N = x^{6}. Calculando \Psi_y a partir da expressão:
\Psi_{y} = x^{6} + h'(y).
Como deve ser igual a x^{6}, obtemos h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos então escrever a solução implícita geral:
\Psi(x,y)=x^{5}+x^{6}y = C,
onde C é constante arbitrária.
Podemos isolar y (solução explícita geral):
x^{5}+x^{6}y=C \quad\Rightarrow\quad x^{6}y = C - x^{5} \quad\Rightarrow\quad y = C x^{-6} - x^{-1}.

Passo 6

Resolver o PVI y(1)=3.
Usar a forma implícita x^{5}+x^{6}y=C. Substitua x=1, y=3:
1^{5} + 1^{6}\cdot 3 = C \quad\Rightarrow\quad 1 + 3 = C \quad\Rightarrow\quad C=4.
Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x) = 4 x^{-6} - x^{-1} = \frac{4}{x^{6}} - \frac{1}{x},
válida para x\neq0. Para o PVI com condição em x=1 podemos tomar a solução para x>0.

Resposta

(a) A equação não é exata, pois \displaystyle M_{y}=6x^{2}\neq N_{x}=3x^{2}.
(b) \displaystyle \frac{M_{y}-N_{x}}{N}=\frac{3}{x}, fator integrante \displaystyle \mu(x)=x^{3}.
Solução geral: \displaystyle x^{5}+x^{6}y=C (ou \displaystyle y=Cx^{-6}-x^{-1}).
Solução do PVI y(1)=3: \displaystyle y(x)=\frac{4}{x^{6}}-\frac{1}{x}.

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