Resolver os itens abaixo considerando a equação diferencial
.
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Calcular o quociente
e encontrar um fator integrante
que transforma a equação dada em uma equação exata.
Encontrar a solução geral desta equação.
Encontrar a solução explícita para o PVI:
.
a) Mostrar que a equação não é exata.
b) Calcular o quociente
Encontrar a solução geral desta equação.
Encontrar a solução explícita para o PVI:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
As perguntas são:
- (a) Mostrar que a equação não é exata.
- (b) Calcular o quociente
e encontrar um fator integrante que transforme a equação em exata. - Encontrar a solução geral da equação (equação implícita ou explícita para
). - Encontrar a solução explícita que satisfaz o problema de valor inicial (PVI)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar
e . - Note que a equação envolve potências de
e ; a variável pode ser singular (usaremos fatores integrantes que exigem ).
Passo 2
Checar exatidão (mostrar que não é exata).
Definição curta (para usar): a equação
é exata se e somente se
em uma região onde
são diferenciáveis.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
temos
. Portanto a equação NÃO é exata. (Isto responde o item (a).)
Passo 3
Calcular o quociente
e justificar a busca por um fator integrante
.
Compute:
Observe que este quociente depende apenas de
(não depende de
). Quando
é função somente de
, existe um fator integrante que depende só de
:
.
Breve justificativa da fórmula para
:
Se então a nova equação
deve ser exata, ou seja
Se
Como
depende só de
, isso dá
Rearranjando:
Portanto, sabendo que o lado direito é
, integrando obtemos
, isto é
Para trabalhar com o PVI em
(onde
) podemos escolher simplesmente
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
e verificar exatidão.
Multiplicando termo a termo:
Calcule as parciais:
Como são iguais, a equação multiplicada por
,
é exata.
Passo 5
Encontrar a função potencial
cuja diferencial total é
, e obter a solução geral implícita.
Pelo procedimento padrão: integrar
em relação a
, tratando
como constante:
Calcule separadamente:
Logo
onde
é uma função somente de
(constante de integração "dependente de
").
Agora imponha
. Calculando
a partir da expressão:
Como deve ser igual a
, obtemos
, logo
é constante. Podemos então escrever a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrária.
Podemos isolar
(solução explícita geral):
Passo 6
Resolver o PVI
.
Usar a forma implícita
. Substitua
,
:
Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
válida para
. Para o PVI com condição em
podemos tomar a solução para
.
Resposta
(a) A equação não é exata, pois
(b) , fator integrante
Solução geral: (ou
).
Solução do PVI :
(b)
Solução geral:
Solução do PVI