Seja C a curva interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=1, com C orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Seja F(x, y, z)=(y,-x, y z). Calcule ointC F cdot d r de duas formas diferentes:
(a) diretamente, parametrizando C.

Passo 1

O enunciado pede a circulação do campo vetorial vec F(x,y,z)=(y,-x,yz) ao longo da curva C, que é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=1. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial por parametrização de curva fechada. Vamos precisar parametrizar C, calcular dvec r, avaliar vec F na parametrização e então fazer a integral.

Passo 2

Para parametrizar C, note que x^2+y^2=1 em z=1 é o círculo unitário. Então podemos usar
r(t)=(cos t,,sin t,,1), tin[0,2pi]
Dessa forma
r'(t)=(-sin t,,cos t,,0), dvec r=r'(t), d t

Passo 3

Agora avaliamos vec F sobre r(t):
vec F(r(t))=(sin t,,-cos t,,y z)=(sin t,,-cos t,,sin t)
O produto escalar com r'(t) é
vec F(r(t))cdot r'(t)=sin t(-sin t)+(-cos t)(cos t)+sin tcdot0=-sin^2t-cos^2t=-1

Passo 4

A integral de linha fica
ointCvec Fcdot dvec r=integral0^2pi(-1), d t=-integral0^2pi1, d t=-2pi

Resposta

-2\pi

Exercícios relacionados