Seja
a curva interseção do paraboloide
com o plano
, com
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Seja
. Calcule
de duas formas diferentes:
(a) diretamente, parametrizando
.
(a) diretamente, parametrizando
Passo 1
O enunciado pede a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção do paraboloide
com o plano
. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial por parametrização de curva fechada. Vamos precisar parametrizar
, calcular
, avaliar
na parametrização e então fazer a integral.
Passo 2
Para parametrizar
, note que
em
é o círculo unitário. Então podemos usar
Dessa forma
Passo 3
Agora avaliamos
sobre
:
O produto escalar com
é
Passo 4
A integral de linha fica
Resposta
-2\pi