Seja C a fronteira da região D no primeiro quadrante delimitada pela parábola y=2-x^2 e pelas retas y=x e x=0, com C orientada no sentido anti-horário. Seja F(x, y)=(y+e^raizx) i+(7 x+sen^3 y) j. Calcule ointC F cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r, onde C é a fronteira, orientada anti-horário, da região D no 1º quadrante limitada por y=2-x^2, y=x e x=0. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que permite transformar esta integral de linha num integral duplo sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos que
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr), dA,
onde P(x,y)=y+e^raizx e Q(x,y)=7x+sin^3y.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x=7,partial Ppartial y=1,
logo o integrando é constante:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=7-1=6

Passo 3

Isso reduz o problema a
ointCvec Fcdot dvec r = integral duplaD6, dA = 6cdotÁrea(D)Á
A região D é dada por 0<= x<=1 (interseção de y=x e y=2-x^2 em x=1) e, para cada x, x<= y<= 2-x^2. Assim
Área(D)=integral0^1l[(2-x^2)-xr], dx = [2x-x^33-x^22]0^1 = 2-13-12=76Á

Passo 4

Multiplicando pela constante 6 dá
ointCvec Fcdot dvec r = 6cdot76=7

Resposta

7

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