Seja
a fronteira da região
no primeiro quadrante delimitada pela parábola
e pelas retas
e
, com
orientada no sentido anti-horário. Seja
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira, orientada anti-horário, da região
no 1º quadrante limitada por
,
e
. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que permite transformar esta integral de linha num integral duplo sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos que
onde
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas parciais:
logo o integrando é constante:
Passo 3
Isso reduz o problema a
A região
é dada por
(interseção de
e
em
) e, para cada
,
. Assim
Passo 4
Multiplicando pela constante 6 dá
Resposta
7