Seja
a curva interseção do paraboloide
com o plano
, com
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Seja
. Calcule
de duas formas diferentes:
(b) usando o Teorema de Stokes.
(b) usando o Teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
é a interseção do paraboloide
com o plano
, orientada anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que esse integral de linha fechado é igual ao integral de superfície de
sobre qualquer superfície
com fronteira
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que
, temos:
Logo,
Passo 3
Escolhemos como superfície
o disco
no plano
. A orientação de
deve ser compatível com
orientada anti-horário vista de cima, então o vetor normal unitário é
. Sobre essa superfície,
, de modo que
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
Como
fica
Resposta
-2\pi