Seja C a curva interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=1, com C orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Seja F(x, y, z)=(y,-x, y z). Calcule ointC F cdot d r de duas formas diferentes:
(b) usando o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de ointCvec Fcdot dvec r onde C é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=1, orientada anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz que esse integral de linha fechado é igual ao integral de superfície de nablatimesvec F sobre qualquer superfície S com fronteira C.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de vec F(x,y,z)=(y,-x,yz). Lembrando que nablatimesvec F=(Ry - Qz,,Pz - Rx,,Qx - Py), temos:
Ry=partialpartial y(yz)=z, Qz=partialpartial z(-x)=0
Pz=partialpartial z(y)=0, Rx=partialpartial x(yz)=0
Qx=partialpartial x(-x)=-1, Py=partialpartial y(y)=1
Logo,
nablatimesvec F=(z,,0,,-2)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco x^2+y^2<=1 no plano z=1. A orientação de S deve ser compatível com C orientada anti-horário vista de cima, então o vetor normal unitário é hat n=(0,0,1). Sobre essa superfície, z=1, de modo que
(nablatimesvec F)|z=1=(1,0,-2)

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Stokes:
ointCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n, dS
Como
(nablatimesvec F)cdothat n=(1,0,-2)cdot(0,0,1)=-2,
fica
integral duplaS-2, dS=-2times(área do disco de raio 1)=-2timespi(1)^2=-2pi á

Resposta

-2\pi

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