Seja F(x, y, z)=(sen z+x y^2) i+x^3 e^-2 z j+(cos y+x^2 z) k. Seja S a superfície do sólido Q delimitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4. Use o Teorema da Divergência para calcular integral duplaS F cdot d S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(sin z + x y^2), i + (x^3 e^-2z), j + (cos y + x^2 z), k através da superfície S que é o contorno do sólido Q limitado por z=x^2+y^2 e z=4. Vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície em integral de volume do divergente de vec F.

Passo 2

Primeiro calculamos o divergente de vec F. Por definição,
nablacdotvec F=partialpartial x(sin z + x y^2)+partialpartial y(x^3 e^-2z)+partialpartial z(cos y + x^2 z)
As derivadas são
partialpartial x(sin z + x y^2)=y^2, partialpartial y(x^3 e^-2z)=0, partialpartial z(cos y + x^2 z)=x^2
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nablacdotvec F = x^2 + y^2

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema da Divergência:
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaQ(x^2+y^2),dV

Passo 4

Para avaliar essa integral, usamos coordenadas cilíndricas ( x=rcostheta, y=rsintheta, z=z), em que x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. Os limites são 0<=theta<=2pi, 0<= r<=2 (pois z=4Rightarrow r=2) e r^2<= z<=4.

Passo 5

Montando a integral:
integral0^2piintegral0^2integralr^2^4r^2,l(rr),dz,dr,dtheta = integral0^2pidthetaintegral0^2r^3(4-r^2),dr

Passo 6

Calculando integral0^2(4r^3-r^5),dr = l[r^4 - tfracr^66r]0^2 =16 - tfrac646 = tfrac163. Multiplicando por 2pi 2picdottfrac163=tfrac32pi3.

Resposta

32pi3

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