Seja
. Seja
a superfície do sólido
delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Use o Teorema da Divergência para calcular
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
que é o contorno do sólido
limitado por
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície em integral de volume do divergente de
.
Passo 2
Primeiro calculamos o divergente de
. Por definição,
As derivadas são
Logo
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema da Divergência:
Passo 4
Para avaliar essa integral, usamos coordenadas cilíndricas (
,
,
), em que
e
. Os limites são
,
(pois
) e
.
Passo 5
Montando a integral:
Passo 6
Calculando
. Multiplicando por
dá
.