Utilize a identidade \nabla \times \nabla f=\mathbf{0} (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
\mathbf{F}=\nabla f.

Passo 1

No enunciado temos um campo vetorial \mathbf{F}=\nabla f, sendo f uma função escalar com derivadas contínuas. O que se pede é mostrar que, para qualquer superfície lisa orientável S com borda \partial S, a circulação
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
é zero. Vamos usar a identidade \nabla\times\nabla f=\mathbf{0} e o Teorema de Stokes.

Passo 2

Pela identidade dada (Equação 8 do texto) sabemos que
\nabla\times\mathbf{F} \;=\;\nabla\times(\nabla f)\;=\;\mathbf{0}.

Passo 3

O Teorema de Stokes afirma que, para qualquer superfície lisa orientável S com borda \partial S, vale
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal a S.

Passo 4

Substituindo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} na integral de superfície, obtemos
\iint_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}\mathbf{0}\cdot\mathbf{n}\,dS =0.
Pelo Teorema de Stokes, isso implica
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

Resposta

A circulação de \mathbf{F}=\nabla f ao longo de \partial S é zero.

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