Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
.
Passo 1
No enunciado temos um campo vetorial
, sendo
uma função escalar com derivadas contínuas. O que se pede é mostrar que, para qualquer superfície lisa orientável
com borda
, a circulação
é zero. Vamos usar a identidade
e o Teorema de Stokes.
Passo 2
Pela identidade dada (Equação 8 do texto) sabemos que
Passo 3
O Teorema de Stokes afirma que, para qualquer superfície lisa orientável
com borda
, vale
onde
é o versor normal a
.
Passo 4
Substituindo
na integral de superfície, obtemos
Pelo Teorema de Stokes, isso implica
Resposta
A circulação de
ao longo de
é zero.