Considere o campo
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1} \mathbf{i}+\frac{z}{z^{2}+y^{2}} \mathbf{j}+\frac{3 y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}} \mathbf{k} e a curva \gamma interseção do cilindro y^{2}+z^{2}=4 com a superfície x=2+\cos ^{2}(3 y), sendo que \gamma é orientada de maneira tal que sua projeção no plano y z seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde o campo é
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,\mathbf{i}+\frac{z}{z^{2}+y^{2}}\,\mathbf{j}+\frac{3y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}\,\mathbf{k},
e a curva \gamma é a interseção do cilindro \;y^{2}+z^{2}=4\; com a superfície \;x=2+\cos^{2}(3y)\;. A orientação de \gamma é tal que sua projeção no plano yz é percorrida no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Campo: }\mathbf{F}=(P,Q,R),\quad P(x,y,z)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1},\; Q(x,y,z)=\frac{z}{z^{2}+y^{2}},\; R(x,y,z)=\frac{3y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}.\\\ &\text{Curva: } \gamma=\{(x,y,z): y^{2}+z^{2}=4,\; x=2+\cos^{2}(3y)\},\\ \gamma \text{ é fechada.}\\\ &\text{Orientação: projeção em }yz\text{ é anti-horário (portanto ângulo }t\text{ cresce).} \end{aligned}éçãçãéáâ

Passo 2

Escolhemos parametrizar a curva usando o ângulo \;t\in[0,2\pi]\; da projeção no plano yz. Como a projeção é o círculo \;y^{2}+z^{2}=4\; com sentido anti-horário, uma parametrização natural é
y(t)=2\cos t,\qquad z(t)=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
e a coordenada x vem da superfície:
x(t)=2+\cos^{2}\bigl(3y(t)\bigr)=2+\cos^{2}\bigl(3\cdot 2\cos t\bigr)=2+\cos^{2}\bigl(6\cos t\bigr).
Portanto a parametrização da curva é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,2\cos t,\,2\sin t\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.

Passo 3

Vamos analisar os componentes do produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz ao longo de \gamma.
Primeira observação útil: sobre \gamma temos \;y^{2}+z^{2}=4\; constante, então podemos simplificar Q e R ao substituir essa constante:
Q=\frac{z}{z^{2}+y^{2}}=\frac{z}{4},\qquad R=\frac{3y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}=\frac{3y}{2}.
Isso simplifica muito as integrais envolvendo dy e dz.
Segunda observação: P depende apenas de x:
P(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}.
Assim a parte P\,dx é da forma f(x)\,dx, uma diferencial que depende só de x. Vamos usar isso mais adiante.

Passo 4

Calculemos as derivadas das componentes da parametrização para obter dx,dy,dz em termos de dt.
Temos
y(t)=2\cos t\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=-2\sin t,
z(t)=2\sin t\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=2\cos t.
Para x(t)=2+\cos^{2}\bigl(6\cos t\bigr) podemos anotar dx como x'(t)\,dt, mas não precisamos do valor explícito de x'(t) para concluir sobre a contribuição de P\,dx (ver Passo 6). Assim:
dy=-2\sin t\,dt,\qquad dz=2\cos t\,dt,\qquad dx=x'(t)\,dt.

Passo 5

Calculemos a contribuição das parcelas Q\,dy e R\,dz ao integrando:
Q\,dy+R\,dz=\frac{z}{4}\,dy+\frac{3y}{2}\,dz.
Substituindo y=2\cos t, z=2\sin t, dy=-2\sin t\,dt, dz=2\cos t\,dt:
\begin{aligned} \frac{z}{4}\,dy &= \frac{2\sin t}{4}\cdot(-2\sin t\,dt) = \frac{\sin t}{2}\cdot(-2\sin t)\,dt = -\sin^{2}t\,dt,\\[4pt] \frac{3y}{2}\,dz &= \frac{3\cdot 2\cos t}{2}\cdot(2\cos t\,dt) = 3\cos t\cdot 2\cos t\,dt = 6\cos^{2}t\,dt. \end{aligned}
Somando,
Q\,dy+R\,dz = \bigl(6\cos^{2}t-\sin^{2}t\bigr)\,dt.]

Passo 6

Integramos a expressão obtida para Q\,dy+R\,dz de t=0 a t=2\pi. Para facilitar, use identidades trigonométricas:
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2},\qquad \sin^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Substituindo:
6\cos^{2}t-\sin^{2}t = 6\cdot\frac{1+\cos 2t}{2} - \frac{1-\cos 2t}{2} = \frac{6(1+\cos 2t) - (1-\cos 2t)}{2} = \frac{5+7\cos 2t}{2}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\bigl(6\cos^{2}t-\sin^{2}t\bigr)\,dt = \int_{0}^{2\pi}\frac{5+7\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\left[5\cdot 2\pi + 7\cdot\frac{\sin 2t}{2}\Big|_{0}^{2\pi}\right] = \frac{1}{2}\cdot 10\pi = 5\pi.
Portanto a contribuição de Q\,dy+R\,dz para \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é 5\pi.

Passo 7

Agora tratemos a contribuição de P\,dx, ou seja \displaystyle\int_{\gamma}P\,dx=\int_{\gamma}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx.
Observação importante (conceito e motivo): a diferencial \displaystyle\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx depende apenas de x. Isso significa que existe uma função escalar G(x) tal que G'(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}. De fato podemos tomar G(x)=\int \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx (não precisamos achar a primitiva explicitamente). A integral de uma diferencial exata dG sobre uma curva fechada é sempre zero porque G é função de uma só variável e retorna ao mesmo valor no ponto inicial do caminho fechado. Em outras palavras, para uma curva fechada,
\oint_{\gamma} G'(x)\,dx = G\bigl(x(2\pi)\bigr)-G\bigl(x(0)\bigr)=0,
pois x(2\pi)=x(0) (a parametrização é periódica com período 2\pi). Portanto
\int_{\gamma}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx=0.
Um exemplo análogo simples: \oint_{\gamma} 2x\,dx = x^{2}\big|_{x(0)}^{x(2\pi)}=0, porque a curva fecha.

Passo 8

Somando as contribuições:
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \underbrace{\int_{\gamma}P\,dx}_{=0} + \underbrace{\int_{\gamma}Q\,dy+R\,dz}_{=5\pi} = 5\pi.

Resposta

5\pi

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