Considere o campo \mathbf{F}(x, y, z)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1} \mathbf{i}+\frac{z}{z^{2}+y^{2}} \mathbf{j}+\frac{3 y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}} \mathbf{k} e a curva \gamma interseção do cilindro y^{2}+z^{2}=4 com a superfície x=2+\cos ^{2}(3 y), sendo que \gamma é orientada de maneira tal que sua projeção no plano y z seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha fechada \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde o campo é
e a curva \gamma é a interseção do cilindro \;y^{2}+z^{2}=4\; com a superfície \;x=2+\cos^{2}(3y)\;. A orientação de \gamma é tal que sua projeção no plano yz é percorrida no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Campo: }\mathbf{F}=(P,Q,R),\quad P(x,y,z)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1},\; Q(x,y,z)=\frac{z}{z^{2}+y^{2}},\; R(x,y,z)=\frac{3y}{\sqrt{z^{2}+y^{2}}}.\\\ &\text{Curva: } \gamma=\{(x,y,z): y^{2}+z^{2}=4,\; x=2+\cos^{2}(3y)\},\\ \gamma \text{ é fechada.}\\\ &\text{Orientação: projeção em }yz\text{ é anti-horário (portanto ângulo }t\text{ cresce).} \end{aligned}
Passo 2
Escolhemos parametrizar a curva usando o ângulo \;t\in[0,2\pi]\; da projeção no plano yz. Como a projeção é o círculo \;y^{2}+z^{2}=4\; com sentido anti-horário, uma parametrização natural é
z(t)=2\sin t\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=2\cos t.
Para x(t)=2+\cos^{2}\bigl(6\cos t\bigr) podemos anotar dx como x'(t)\,dt, mas não precisamos do valor explícito de x'(t) para concluir sobre a contribuição de P\,dx (ver Passo 6). Assim:
Portanto a contribuição de Q\,dy+R\,dz para \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é 5\pi.
Passo 7
Agora tratemos a contribuição de P\,dx, ou seja \displaystyle\int_{\gamma}P\,dx=\int_{\gamma}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx.
Observação importante (conceito e motivo): a diferencial \displaystyle\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx depende apenas de x. Isso significa que existe uma função escalar G(x) tal que G'(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}. De fato podemos tomar G(x)=\int \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx (não precisamos achar a primitiva explicitamente). A integral de uma diferencial exata dG sobre uma curva fechada é sempre zero porque G é função de uma só variável e retorna ao mesmo valor no ponto inicial do caminho fechado. Em outras palavras, para uma curva fechada,