Seja C a curva y=2 x-x^5, 0 <= x <= 1. O valor da integral integralC(e^y-x e^x+e^2 x) d x+(x e^y-e^2 y) d y é:
Escolha uma opção:
e
e^2
e-1
2-e
e^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral ao longo de uma curva $ C $ definida por $ y = 2x - x^{5} $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $. A integral que queremos resolver é:
C
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo multivariável. Vamos precisar entender como calcular integrais ao longo de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma mais clara:
integralC ( P(x, y) , dx + Q(x, y) , dy )
onde:
P(x, y) = e^y - x e^x + e^2x
Q(x, y) = x e^y - e^2y

Passo 3

Agora, para calcular essa integral, podemos verificar se o campo vetorial $ \mathbf{F} = (P, Q) $ é conservativo. Se for, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
F = (P, Q)
Se conseguirmos encontrar $ \phi $, então a integral ao longo de $ C $ será simplesmente $ \phi $ avaliada nos pontos finais da curva.

Passo 4

Para verificar se $ \mathbf{F} $ é conservativo, devemos checar se a condição $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $ é satisfeita.
Calculando as derivadas parciais:
F
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ é conservativo.

Passo 5

Como $ \mathbf{F} $ é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
F
Vamos integrar $ P $ em relação a $ x $ para encontrar $ \phi(x, y) $:
phi(x, y)
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Integrando termo a termo:
partial phipartial x = P = e^y - x e^x + e^2x
P çã
x
Então:
phi(x, y)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ h(y) $ usando a segunda condição:
h(y)
Calculando a derivada de $ \phi $ em relação a $ y $:
partial phipartial y = Q = x e^y - e^2y
Igualando:
phi
Simplificando, percebemos que $ h’(y) = -e^{2y} $.
Integrando em relação a $ y $:
y
Onde $ C $ é uma constante de integração, que podemos ignorar para a função potencial.
Então, a função potencial completa é:
partial phipartial y = e^y x + h'(y) = x e^y - e^2y

Passo 7

Agora, para calcular a integral ao longo de $ C $, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais de $ C $. A curva $ C $ vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, e como $ y = 2x - x^{5} $, os pontos finais são:
  • Ponto inicial: $ (0, 0) $
  • Ponto final: $ (1, 2 - 1) = (1, 1) $
Calculando $ \phi(1, 1) $ e $ \phi(0, 0) $:
C
C

Resposta

A integral vale $ e - 1 $.

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