Seja
a curva
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
e
Escolha uma opção:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral ao longo de uma curva $ C $ definida por $ y = 2x - x^{5} $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $. A integral que queremos resolver é:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo multivariável. Vamos precisar entender como calcular integrais ao longo de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma mais clara:
onde:
Passo 3
Agora, para calcular essa integral, podemos verificar se o campo vetorial $ \mathbf{F} = (P, Q) $ é conservativo. Se for, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
Se conseguirmos encontrar $ \phi $, então a integral ao longo de $ C $ será simplesmente $ \phi $ avaliada nos pontos finais da curva.
Passo 4
Para verificar se $ \mathbf{F} $ é conservativo, devemos checar se a condição $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $ é satisfeita.
Calculando as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ é conservativo.
Passo 5
Como $ \mathbf{F} $ é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ P $ em relação a $ x $ para encontrar $ \phi(x, y) $:
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ h(y) $ usando a segunda condição:
Calculando a derivada de $ \phi $ em relação a $ y $:
Igualando:
Simplificando, percebemos que $ h’(y) = -e^{2y} $.
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração, que podemos ignorar para a função potencial.
Então, a função potencial completa é:
Passo 7
Agora, para calcular a integral ao longo de $ C $, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais de $ C $. A curva $ C $ vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, e como $ y = 2x - x^{5} $, os pontos finais são:
- Ponto inicial: $ (0, 0) $
- Ponto final: $ (1, 2 - 1) = (1, 1) $
Calculando $ \phi(1, 1) $ e $ \phi(0, 0) $:
Resposta
A integral vale $ e - 1 $.