Seja
a curva
, com
, contida no plano
. Seja
a superfície obtida girando
em torno do eixo
.
Parametrize
.
Parametrize
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma curva $ C $ definida por $ z = 2x^{2} $, onde $ x $ varia de 0 a 2, e essa curva está no plano $ xz $. A gente precisa encontrar uma parametrização para a superfície $ S $ que resulta ao girar essa curva $ C $ em torno do eixo $ z $. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva $ C $. Ela é uma parábola no plano $ xz $, aberta para cima, já que $ z = 2x^{2} $. O intervalo de $ x $ é de 0 a 2, então a curva vai de $ x = 0 $ até $ x = 2 $.
Passo 3
Quando giramos a curva $ C $ em torno do eixo $ z $, cada ponto da curva vai descrever um círculo no espaço tridimensional. Para parametrizar essa superfície, precisamos considerar duas variáveis: uma para o tamanho do círculo (que depende de $ x $) e outra para o ângulo de rotação ao redor do eixo $ z $, que podemos chamar de $ \theta $.
Passo 4
Vamos definir $ x $ como uma das variáveis de parâmetro, variando de 0 a 2, e $ \theta $ como a segunda variável, variando de 0 a $ 2\pi $ (esse é o ângulo completo de rotação). Assim, podemos escrever as coordenadas $ (x, y, z) $ da superfície em termos dessas duas variáveis.
Passo 5
No sistema de coordenadas cilíndricas, quando giramos um ponto $ (x, 0, z) $ em torno do eixo $ z $, ele se transforma em $ (x\cos\theta, x\sin\theta, z) $. No nosso caso, $ z = 2x^{2} $, então substituímos isso na expressão.
Passo 6
Então, a parametrização da superfície $ S $ fica assim:
Onde $ u $ varia de 0 a 2 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Resposta
A parametrização da superfície $ S $ é dada por
onde $ 0 \leq u \leq 2 $ e $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $.