Seja
a curva
, com
, contida no plano
. Seja
a superfície obtida girando
em torno do eixo
.
Calcule a área de
.
Calcule a área de
Passo 1
A curva é dada por z = 2x² no plano xz, com 0 ≤ x ≤ 2, e a superfície S surge ao girar essa curva em torno do eixo z. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula A = 2π ∫ r ds, onde r é a distância ao eixo de rotação e ds é o elemento de arco.
Passo 2
Em revolução em torno do eixo z, a distância ao eixo é r = x. O elemento de arco ds para uma curva z(x) é dado por ds = √(1 + (dz/dx)²) dx. Aqui temos dz/dx = 4x, então
Passo 3
Substituindo na fórmula da área de superfície,
Passo 4
Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 1 + 16x², logo du = 32x dx, ou x dx = du/32. Quando x = 0, u = 1; quando x = 2, u = 65. A integral vira
Passo 5
Substituindo os limites,