Seja C a curva z=2 x^2, com 0 <= x <= 2, contida no plano x z. Seja S a superfície obtida girando C em torno do eixo z.
Calcule a área de S.

Passo 1

A curva é dada por z = 2x² no plano xz, com 0 ≤ x ≤ 2, e a superfície S surge ao girar essa curva em torno do eixo z. O conteúdo é área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula A = 2π ∫ r ds, onde r é a distância ao eixo de rotação e ds é o elemento de arco.

Passo 2

Em revolução em torno do eixo z, a distância ao eixo é r = x. O elemento de arco ds para uma curva z(x) é dado por ds = √(1 + (dz/dx)²) dx. Aqui temos dz/dx = 4x, então
ds = raiz1 + (4x)^2,dx = raiz1 + 16x^2,dx

Passo 3

Substituindo na fórmula da área de superfície,
A = 2pi integral0^2 x raiz1 + 16x^2,dx

Passo 4

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 1 + 16x², logo du = 32x dx, ou x dx = du/32. Quando x = 0, u = 1; quando x = 2, u = 65. A integral vira
A = 2pi integralu=1^65 raizu du32 = 2pi32 integral1^65 u^1/2 ,du = pi16 [ 23 u^3/2 ]1^65

Passo 5

Substituindo os limites,
A = pi16 cdot 23 l(65^3/2 - 1^3/2r) = pi24 l(65raiz65 - 1r)

Resposta

A = pi24l(65raiz65 - 1r)

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