Seja C a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas x= pm 2 e y= pm 2. Calcule cada uma das integrais dadas.
integralC cosh zz^4 d z;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo da fronteira $ C $ de um quadrado cujos lados estão delimitados pelas retas $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A função que vamos integrar é $ \frac{\cosh z}{z^{4}} $.
Conteúdo necessário:
  • Cálculo de integrais no plano complexo: especialmente utilizando o teorema dos resíduos.
  • Funções hiperbólicas: como a função cosseno hiperbólico $ \cosh z $.
  • Teorema de Cauchy para integrais de funções analíticas: que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Vamos lembrar que o teorema dos resíduos é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados. Segundo esse teorema, a integral de uma função ao longo de um caminho fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos da função dentro desse caminho.
2pi i
onde $ z_k $ são os polos de $ f(z) $ dentro de $ C $.

Passo 3

Nossa função é $ f(z) = \frac{\cosh z}{z^{4}} $. Vamos identificar os polos dessa função. Um polo ocorre onde a função se torna infinita, ou seja, onde o denominador é zero.
Aqui, o denominador $ z^{4} = 0 $ quando $ z = 0 $. Portanto, $ z = 0 $ é um polo de ordem 4 (porque o expoente é 4).

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse polo $ z = 0 $ está dentro do contorno $ C $. Como $ C $ é a fronteira de um quadrado com lados de $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $, o ponto $ z = 0 $ (que corresponde a $ x = 0 $ e $ y = 0 $) está claramente dentro desse quadrado.

Passo 5

Como temos um polo de ordem 4 em $ z = 0 $, precisamos calcular o resíduo de $ f(z) $ nesse ponto. Para um polo de ordem $ n $, o resíduo é dado por:
z = 0
No nosso caso, $ n = 4 $:
f(z)

Passo 6

Agora, precisamos calcular a terceira derivada de $ \cosh z $ em relação a $ z $. Vamos lembrar que:
cosh z
Derivando:
  • Primeira derivada: $ \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z $
  • Segunda derivada: $ \frac{d{2}}{dz{2}} \cosh z = \cosh z $
  • Terceira derivada: $ \frac{d{3}}{dz{3}} \cosh z = \sinh z $
Então:
z

Passo 7

Agora, substituímos na expressão do resíduo:
Res(cosh zz^4, 0) = 16 limz to 0 sinh z
Sabemos que:
sinh 0 = 0
Portanto:
Res(cosh zz^4, 0) = 16 times 0 = 0

Passo 8

Com o resíduo calculado, aplicamos o teorema dos resíduos para encontrar a integral:
integralC cosh zz^4 , dz = 2pi i times Res(cosh zz^4, 0) = 2pi i times 0 = 0

Resposta

A integral $ \int_{C} \frac{\cosh z}{z^{4}} , dz $ é igual a 0.

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