Seja
a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas
e
. Calcule cada uma das integrais dadas.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo da fronteira $ C $ de um quadrado cujos lados estão delimitados pelas retas $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. A função que vamos integrar é $ \frac{\cosh z}{z^{4}} $.
Conteúdo necessário:
- Cálculo de integrais no plano complexo: especialmente utilizando o teorema dos resíduos.
- Funções hiperbólicas: como a função cosseno hiperbólico $ \cosh z $.
- Teorema de Cauchy para integrais de funções analíticas: que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Vamos lembrar que o teorema dos resíduos é uma ferramenta poderosa para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados. Segundo esse teorema, a integral de uma função ao longo de um caminho fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos da função dentro desse caminho.
onde $ z_k $ são os polos de $ f(z) $ dentro de $ C $.
Passo 3
Nossa função é $ f(z) = \frac{\cosh z}{z^{4}} $. Vamos identificar os polos dessa função. Um polo ocorre onde a função se torna infinita, ou seja, onde o denominador é zero.
Aqui, o denominador $ z^{4} = 0 $ quando $ z = 0 $. Portanto, $ z = 0 $ é um polo de ordem 4 (porque o expoente é 4).
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse polo $ z = 0 $ está dentro do contorno $ C $. Como $ C $ é a fronteira de um quadrado com lados de $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $, o ponto $ z = 0 $ (que corresponde a $ x = 0 $ e $ y = 0 $) está claramente dentro desse quadrado.
Passo 5
Como temos um polo de ordem 4 em $ z = 0 $, precisamos calcular o resíduo de $ f(z) $ nesse ponto. Para um polo de ordem $ n $, o resíduo é dado por:
No nosso caso, $ n = 4 $:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a terceira derivada de $ \cosh z $ em relação a $ z $. Vamos lembrar que:
Derivando:
- Primeira derivada: $ \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z $
- Segunda derivada: $ \frac{d{2}}{dz{2}} \cosh z = \cosh z $
- Terceira derivada: $ \frac{d{3}}{dz{3}} \cosh z = \sinh z $
Então:
Passo 7
Agora, substituímos na expressão do resíduo:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Com o resíduo calculado, aplicamos o teorema dos resíduos para encontrar a integral:
Resposta
A integral $ \int_{C} \frac{\cosh z}{z^{4}} , dz $ é igual a 0.