Encontre os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica para a funçãof definida por:

Passo 1

Temos a função periódica de período T=4 definida por
f(x)=x,&-2<= x<0,-x,&0<= x<2,
o conteúdo é série de Fourier na forma trigonométrica e vamos precisar das fórmulas padrões para coeficientes an e bn em um intervalo [-L,L] com L=2.

Passo 2

A função é par, pois f(-x)=f(x) para todo x. Logo, todos os coeficientes de seno são nulos:
bn=0forall n

Passo 3

Calculamos o coeficiente a0 pela definição
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, L=2
Como a função é par, isso vira
a0=2Lintegral0^Lf(x),dx=integral0^2(-x),dx=-[x^22]0^2=-2

Passo 4

Para n>=1, o coeficiente an é
an=2Lintegral0^L f(x)cosl(npi xLr)dx =integral0^2(-x)cosl(npi x2r)dx
Fazemos integração por partes: u=x, dv=cos(tfracnpi x2)dx.

Passo 5

Após a integração por partes obtemos
integral0^2 xcosl(tfracnpi x2r)dx=4n^2pi^2l((-1)^n-1r)
Como an=-integral0^2 xcos(tfracnpi x2)dx, temos
an=4n^2pi^2l(1-(-1)^nr)

Passo 6

Note que se n é par, (-1)^n=1 e an=0. Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
an=8n^2pi^2, n=2k+1

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier trigonométrica é
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(npi x2r) =-1+sumk=0^infty8(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi x2r)

Resposta

f(x)=-1+8pi^2l(costfracpi x2+13^2costfrac3pi x2+15^2costfrac5pi x2+cdotsr)

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