Seja C um número real e considere a função f: R \ {2,3} -> R dada por f(x) = (x^3 - C*x^2 - 9*x + 9*C) / ((x - 2)*(x - 3)). Mostre que 2 é raiz do polinômio x^3 - C * x^2 - 9 * x + 9 * C se, e somente se, C = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o número 2 é uma raiz do polinômio se e somente se o valor de for igual a 2. Isso envolve entender o que é uma raiz de um polinômio e como determinar o valor de que faz isso acontecer. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de substituição de raízes em polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que 2 é uma raiz do polinômio . Isso quer dizer que, ao substituir na função , o resultado deve ser zero. Ou seja:

Passo 3

Vamos fazer essa substituição:
Calculando cada termo:
Substituindo de volta:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :
Isso mostra que, para que 2 seja uma raiz do polinômio dado, o valor de deve ser 2.
Além disso, a condiç��o é bi-direcional, ou seja, se , então 2 é certamente uma raiz, e se 2 é uma raiz, então tem que ser 2. Portanto, a afirmação "2 é raiz do polinômio se, e somente se, " está comprovada.

Resposta

O valor de que faz com que 2 seja raiz do polinômio é .

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