Sabendo que
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a Transformada de Laplace de
é
para
. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e a integral conhecida
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
No nosso caso,
. Então, a Transformada de Laplace que queremos calcular é:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Assim,
e
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos, fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar mais essa expressão. Os
no numerador e denominador se cancelam, e os termos com
também se simplificam:
Passo 6
Lembrando da integral conhecida que o enunciado nos deu:
Substituímos isso na nossa expressão:
Passo 7
Simplificando os termos finais:
Resposta
Assim, mostramos que: