Determine se as seguintes funções são contínuas: f: R -> R, dada por f(x)={sen(3x)/(3x), se x≠0; 2, se x=0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função , definida por
é contínua. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e a gente vai precisar entender como verificar se uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente no ponto onde a definição muda, que neste caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Nossa função está definida para todo , mas a gente precisa prestar atenção especial no ponto , porque a definição da função muda ali.

Passo 3

Vamos primeiro verificar a continuidade para . Para esses valores de , a função é .
Sabemos que a função seno ( ) é contínua em todo lugar, e também é uma função contínua quando . Além disso, como , o denominador nunca é zero, então não temos problemas de divisão por zero. Portanto, para todo , é contínua.

Passo 4

Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto.
Primeiro, vamos ver o valor da função em :
Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Para resolver esse limite, podemos usar uma regra importante do cálculo:
Aqui, fazemos uma substituição . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Passo 5

Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em :
Como , o limite não é igual ao valor da função no ponto . Isso significa que a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua para todo , mas apresenta uma descontinuidade em .

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