Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
, definida por
é contínua. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e a gente vai precisar entender como verificar se uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente no ponto onde a definição muda, que neste caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Nossa função está definida para todo
, mas a gente precisa prestar atenção especial no ponto
, porque a definição da função muda ali.
Passo 3
Vamos primeiro verificar a continuidade para
. Para esses valores de
, a função é
.
Sabemos que a função seno (
) é contínua em todo lugar, e
também é uma função contínua quando
. Além disso, como
, o denominador
nunca é zero, então não temos problemas de divisão por zero. Portanto, para todo
,
é contínua.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto.
Primeiro, vamos ver o valor da função em
:
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Para resolver esse limite, podemos usar uma regra importante do cálculo:
Aqui, fazemos uma substituição
. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então:
Passo 5
Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em
:
Como
, o limite não é igual ao valor da função no ponto
. Isso significa que a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua para todo
, mas apresenta uma descontinuidade em
.