Verifique que se as funções e são soluções linearmente independentes de então e também são soluções linearmente independentes, desde que . Também, e formam um conjunto fundamental de soluções para tal equação, além de e .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma EDO homogênea de segunda ordem
e duas soluções linearmente independentes e . Precisamos mostrar que:
e também são soluções linearmente independentes (com ).
As combinações e formam outro par fundamental de soluções.
Passo 2
Como o operador diferencial é linear e homogêneo, se satisfaz
então para qualquer constante temos
Analogamente . Logo, e são soluções.
Passo 3
Para verificar a independência, usamos o wronskiano:
Como c1,c2neq0 e W(y1,y2) é não nulo (por hipótese), temos W(c1 y1,c2 y2)neq0. Logo são linearmente independentes.
Passo 4
Pela linearidade também, a soma e a diferença de duas soluções são soluções. Assim,
y3 = y1 + y2,
y4 = y1 - y2
ésão soluções da mesma equação homogênea.
Passo 5
Para checar que y3 e y4 são independentes, calculamos o wronskiano: