Verifique que se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 então c1 y1 e c2 y2 também são soluções linearmente independentes, desde que c1, c2 neq 0. Também, y3=y1+y2 e y4=y1-y2 formam um conjunto fundamental de soluções para tal equação, além de y1 e y2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma EDO homogênea de segunda ordem
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0
e duas soluções linearmente independentes y1 e y2. Precisamos mostrar que:
  1. c1 y1 e c2 y2 também são soluções linearmente independentes (com c1,c2neq0).
  2. As combinações y3 = y1 + y2 e y4 = y1 - y2 formam outro par fundamental de soluções.

Passo 2

Como o operador diferencial é linear e homogêneo, se y1 satisfaz
L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
então para qualquer constante c1 temos
L[c1 y1] = c1 L[y1] = c1 ,0 = 0
Analogamente L[c2 y2] = 0. Logo, c1 y1 e c2 y2 são soluções.

Passo 3

Para verificar a independência, usamos o wronskiano:
W(c1 y1, c2 y2)(x) = c1 y1 & c2 y2 c1 y1' & c2 y2' = c1 c2 y1 & y2 y1' & y2' = c1 c2 ,W(y1,y2)
Como c1,c2neq0 e W(y1,y2) é não nulo (por hipótese), temos W(c1 y1,c2 y2)neq0. Logo são linearmente independentes.

Passo 4

Pela linearidade também, a soma e a diferença de duas soluções são soluções. Assim,
y3 = y1 + y2,
y4 = y1 - y2
ésão soluções da mesma equação homogênea.

Passo 5

Para checar que y3 e y4 são independentes, calculamos o wronskiano:
W(y3,y4) = y1+y2 & y1-y2 y1'+y2' & y1'-y2'
Expandindo,
W(y3,y4) = (y1+y2)(y1'-y2') - (y1-y2)(y1'+y2') = -2l(y1 y2' - y2 y1'r) = -2,W(y1,y2)
Como W(y1,y2)neq0, então W(y3,y4)neq0, e portanto eles são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que:
  1. c1 y1 e c2 y2 são soluções linearmente independentes quando c1,c2neq0.
  2. y3 = y1 + y2 e y4 = y1 - y2 formam outro conjunto fundamental de soluções para a mesma EDO.

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