Seja c um número real positivo. Prove que a série \sum \operatorname{sen}(c / n) é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um dado c>0, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{c}{n}\bigr)
é divergente.
O conteúdo que vamos usar é o teste da comparação por limite (ou teste do termo equivalente), sabendo que para x\to0 vale \sin(x)\sim x.

Passo 2

Primeiro note que para todo n\ge1 temos c/n>0 e, portanto, \sin(c/n)>0. Isso significa que estamos lidando com uma série de termos positivos, o que permite usar o teste de comparação por limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite do quociente entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série harmônica (multiplicada por c):
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{c}{n}\bigr)}{\tfrac{c}{n}}
Como \tfrac{c}{n}\to0 quando n\to\infty e \sin(x)\sim x para x\to0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{c}{n}\bigr)}{\tfrac{c}{n}} =1.

Passo 4

Do teste da comparação por limite, se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L \quad\text{com }0<L<\infty
então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui a_n=\sin(c/n) e b_n=c/n. Como \sum_{n=1}^\infty \tfrac{c}{n}=c\sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n}
é a constante c vezes a série harmônica, esta última bem conhecida por divergir, concluímos que \sum_{n=1}^\infty\sin(c/n) também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{c}{n}\bigr) é divergente.

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