Seja
um número real positivo. Prove que a série
é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para um dado
, a série
é divergente.
O conteúdo que vamos usar é o teste da comparação por limite (ou teste do termo equivalente), sabendo que para vale
.
O conteúdo que vamos usar é o teste da comparação por limite (ou teste do termo equivalente), sabendo que para
Passo 2
Primeiro note que para todo
temos
e, portanto,
. Isso significa que estamos lidando com uma série de termos positivos, o que permite usar o teste de comparação por limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite do quociente entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série harmônica (multiplicada por
):
Como
quando
e
para
, temos
Passo 4
Do teste da comparação por limite, se
então
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui
e
. Como
é a constante vezes a série harmônica, esta última bem conhecida por divergir, concluímos que
também diverge.
é a constante
Resposta
A série
é divergente.