Seja
.
a) Mostre que a série
é convergente.
b) Determine o limite da série.
a) Mostre que a série
b) Determine o limite da série.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente e, em seguida, determinar seu valor quando soma até o infinito. O tema aqui é séries infinitas, especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Observamos que o termo geral pode ser reescrito como
Se definirmos
então a série torna-se
isto é, uma série geométrica de razão
.
Passo 3
Para uma série geométrica
convergir, precisamos de
. Como
implica
, temos
- Se
, então e , logo e a série converge. - Se
, cada termo é , então a soma também existe (é zero).
Portanto, para todoa série é convergente.
Passo 4
Quando
, vale a fórmula
Multiplicando por
, obtemos
Agora
logo
Resposta
O limite da série é