Seja a \in \mathbb{R}.
a) Mostre que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{n}}
é convergente.
b) Determine o limite da série.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2}}{\bigl(1+a^{2}\bigr)^{n}}
é convergente e, em seguida, determinar seu valor quando soma até o infinito. O tema aqui é séries infinitas, especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observamos que o termo geral pode ser reescrito como
\frac{a^{2}}{\bigl(1+a^{2}\bigr)^{n}} = a^{2}\,\Bigl(\frac{1}{1+a^{2}}\Bigr)^{n}.
Se definirmos
r = \frac{1}{1+a^{2}},
então a série torna-se
a^{2}\sum_{n=0}^{\infty}r^{n},
isto é, uma série geométrica de razão r.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} convergir, precisamos de \lvert r\rvert<1. Como a\in\mathbb{R} implica a^{2}\ge0, temos
1+a^{2}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert r\rvert = \frac{1}{1+a^{2}}\le1.
  • Se a\neq0, então a^{2}>0 e 1+a^{2}>1, logo \lvert r\rvert<1 e a série converge.
  • Se a=0, cada termo é \tfrac{0}{1^{n}}=0, então a soma também existe (é zero).
    Portanto, para todo a\in\mathbb{R} a série é convergente.

Passo 4

Quando \lvert r\rvert<1, vale a fórmula
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = \frac{1}{1-r}.
Multiplicando por a^{2}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{2}}{\bigl(1+a^{2}\bigr)^{n}} = a^{2}\,\frac{1}{1-r} \quad\text{com}\quad r=\frac{1}{1+a^{2}}.
Agora
1-r = 1 - \frac{1}{1+a^{2}} = \frac{(1+a^{2}) - 1}{1+a^{2}} = \frac{a^{2}}{1+a^{2}},
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a^{2}\,\frac{1}{1-r} = a^{2}\,\frac{1+a^{2}}{a^{2}} = 1 + a^{2}.

Resposta

O limite da série é
1 + a^{2}.

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