Seja C \subset \mathbb{R}^{3} a fronteira (bordo) da superfície no primeiro octante de equação z=4-y^{2} a qual é delimitada também pelos planos x=0, y=0, z=0 e 3 x+y=2.
Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+y \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} .
Utilizando o Teorema de Stokes, calcule a integral no sentido positivo (anti-horário)
I=\oint_{C} P d x+Q d y+R d z

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A curva C é a fronteira (bordo) da superfície S no primeiro octante definida por
z = 4 - y^{2},
e delimitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e 3x+y=2.
  • O campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+x^{2}\,\mathbf{k},
ou seja P(x,y,z)=x^{2}, Q(x,y,z)=y, R(x,y,z)=x^{2}.
  • A integral de linha pedida (com orientação positiva — anti-horário) é
I=\oint_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações geométricas úteis (a partir do enunciado):
  • Como z=4-y^{2} e estamos no primeiro octante com z\ge0, tem-se 4-y^{2}\ge0\Rightarrow 0\le y\le 2.
  • A interseção com a reta 3x+y=2 determina o limite em x: para dado y temos 0\le x\le \dfrac{2-y}{3}.
  • Portanto a projeção D da superfície S no plano xy é o triângulo com vértices (0,0),(2/3,0),(0,2).

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. Enunciado do teorema (em palavras simples):
  • Para uma superfície orientada S com bordo C orientado por regra da mão direita, vale
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional de \mathbf{F} e \mathbf{n} é o versor normal à superfície com a orientação escolhida.
Primeiro calculo o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Usando a definição componente a componente:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Para o nosso \mathbf{F}:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0.
Logo
\boxed{\nabla\times\mathbf{F}=(0,\,-2x,\,0).}

Passo 3

Escolho a orientação da superfície S tal que a fronteira C fique orientada no sentido positivo (anti-horário) quando vista do lado em que o vetor normal aponta. O enunciado pede o sentido positivo (anti-horário) — isso costuma corresponder a escolher o normal com componente z positiva (normal “para cima”). Para a superfície dada como gráfico
z=f(x,y)=4-y^{2},
o vetor \mathbf{n}\,dS (vetor normal orientado para cima vezes a área projetada) pode ser tomado pela fórmula padrão:
\mathbf{n}\,dS = (-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Aqui
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-y^{2})=0,\qquad f_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-y^{2})=-2y.
Portanto
\boxed{\mathbf{n}\,dS=(0,\;2y,\;1)\,dA.}
(Isto corresponde a escolher o normal com componente z positiva.)

Passo 4

Calculo o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{n}\,dS):
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{n}\,dS)=(0,\,-2x,\,0)\cdot(0,\;2y,\;1)\,dA.
Fazendo o produto escalar:
(0)\cdot(0)+(-2x)\cdot(2y)+0\cdot 1 = -4xy.
Logo o integrando da integral de superfície é -4xy. Assim, pelo Teorema de Stokes,
I=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D} -4xy\,dA,
onde D é a projeção da superfície no plano xy.

Passo 5

Descrevo explicitamente a região D no plano xy. Pelas condições dadas:
  • y varia entre 0 e 2 (pois z=4-y^{2}\ge0 0\le y\le2);
  • para cada y fixo, x varia entre 0 e a reta 3x+y=2, ou seja
0\le x\le \frac{2-y}{3}.
Portanto a integral dupla fica
I=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{(2-y)/3} -4xy\,dx\,dy.

Passo 6

Calculo a integral iterada passo a passo. Primeiro a integral em x:
\int_{x=0}^{(2-y)/3} -4xy\,dx = -4y\int_{0}^{(2-y)/3} x\,dx = -4y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{(2-y)/3} = -2y\left(\frac{(2-y)^{2}}{9}\right).
Assim
I=\int_{0}^{2} -\frac{2y}{9}(2-y)^{2}\,dy.

Passo 7

Faço a integral em y. Primeiro expando o integrando:
(2-y)^{2}=4-4y+y^{2},
portanto
-\frac{2y}{9}(2-y)^{2} = -\frac{2y}{9}(4-4y+y^{2}) = -\frac{8}{9}y + \frac{8}{9}y^{2} - \frac{2}{9}y^{3}.
Integro termo a termo de 0 a 2:
I=\int_{0}^{2}\!\left(-\frac{8}{9}y + \frac{8}{9}y^{2} - \frac{2}{9}y^{3}\right)dy.
Calculemos as primitivas e valores:
\int_{0}^{2}-\frac{8}{9}y\,dy = -\frac{8}{9}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = -\frac{8}{9}\cdot\frac{4}{2} = -\frac{16}{9},
\int_{0}^{2}\frac{8}{9}y^{2}\,dy = \frac{8}{9}\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{9}\cdot\frac{8}{3} = \frac{64}{27},
\int_{0}^{2}-\frac{2}{9}y^{3}\,dy = -\frac{2}{9}\cdot\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = -\frac{2}{9}\cdot\frac{16}{4} = -\frac{8}{9}.
Somando:
I = -\frac{16}{9} + \frac{64}{27} - \frac{8}{9}.
Colocando em denominador 27:
I = -\frac{48}{27} + \frac{64}{27} - \frac{24}{27} = \frac{-48+64-24}{27} = \frac{-8}{27}.

Passo 8

Interpretação final e checagem de orientação: usei o normal com componente z positiva, que induz a orientação da curva C no sentido anti-horário (positivo) quando vista de cima, portanto compatível com o enunciado. O cálculo via Stokes está consistente e o resultado final é
I=-\dfrac{8}{27}.

Resposta

-\dfrac{8}{27}

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