Seja C \subset \mathbb{R}^{3} a fronteira (bordo) da superfície no primeiro octante de equação z=4-y^{2} a qual é delimitada também pelos planos x=0, y=0, z=0 e 3 x+y=2.
Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+y \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} .
Utilizando o Teorema de Stokes, calcule a integral no sentido positivo (anti-horário)
I=\oint_{C} P d x+Q d y+R d z
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
A curva C é a fronteira (bordo) da superfície S no primeiro octante definida por
Escolho a orientação da superfície S tal que a fronteira C fique orientada no sentido positivo (anti-horário) quando vista do lado em que o vetor normal aponta. O enunciado pede o sentido positivo (anti-horário) — isso costuma corresponder a escolher o normal com componente z positiva (normal “para cima”). Para a superfície dada como gráfico
z=f(x,y)=4-y^{2},
o vetor \mathbf{n}\,dS (vetor normal orientado para cima vezes a área projetada) pode ser tomado pela fórmula padrão:
Interpretação final e checagem de orientação: usei o normal com componente z positiva, que induz a orientação da curva C no sentido anti-horário (positivo) quando vista de cima, portanto compatível com o enunciado. O cálculo via Stokes está consistente e o resultado final é