Em cada um dos Problemas de 23 a 30 (selecionados 23 a 29), use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
29. x^{2} y^{\prime \prime}-(x-0,75) y=0, \quad x>0 ; \quad y_{1}(x)=x^{-1 / 2} e^{2 \sqrt{x}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial: x^{2}y''-(x-\tfrac{3}{4})y=0,\qquad x>0.
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{-1/2}e^{2\sqrt{x}}.
  • Pedido: usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x).
Informações úteis que vamos usar (da equação e de y_1):
  • Podemos dividir a equação por x^{2} (porque x>0) para colocá‑la na forma padrão.
  • A equação na forma padrão não terá termo em y' (ver passo seguinte), o que simplifica a fórmula da redução de ordem.
  • A solução final deve ser linearmente independente de y_1 (ou seja, não pode ser um múltiplo escalar de y_1).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Dividindo por x^{2} obtemos
y''-\frac{x-\tfrac{3}{4}}{x^{2}}\,y=0.
Portanto o coeficiente do termo y' é
P(x)=0,
e o coeficiente de y é
Q(x)=-\frac{x-\tfrac{3}{4}}{x^{2}}.

Passo 3

Apresentar a fórmula de redução de ordem e simplificação quando P(x)=0.
Regra geral: se y_1 é solução de y''+P(x)y'+Q(x)y=0, então uma segunda solução pode ser construída por
y_2=y_1\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Aqui P(x)=0, logo e^{-\int P}=1 e a fórmula simplifica para
y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}\,dx.
Explicação intuitiva curta: como não há termo y', a equação para o fator adicional a multiplicar y_1 reduz a uma integral simples de 1/y_1^2.

Passo 4

Calcular 1/y_{1}^{2} explicitamente.
Dado \,y_1(x)=x^{-1/2}e^{2\sqrt{x}}, temos
y_1^2 = x^{-1} e^{4\sqrt{x}},
logo
\frac{1}{y_1^2}=x e^{-4\sqrt{x}}.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle I(x)=\int \frac{1}{y_1^2}\,dx=\int x e^{-4\sqrt{x}}\,dx.
Fazemos a substituição natural \,t=\sqrt{x}\, (porque aparece \sqrt{x} no expoente).
  • Então x=t^2 e dx=2t\,dt.
    A integral fica
I(x)=\int x e^{-4\sqrt{x}}\,dx = \int t^2 e^{-4t}\cdot 2t\,dt = 2\int t^3 e^{-4t}\,dt.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int t^3 e^{-4t}\,dt por partes repetidas.
Usamos integração por partes com u=t^3, dv=e^{-4t}dt (assim du=3t^2dt, v=-\tfrac{1}{4}e^{-4t}):
\int t^3 e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t^3 e^{-4t} + \tfrac{3}{4}\int t^2 e^{-4t}dt.
Agora para \int t^2 e^{-4t}dt fazemos outra vez:
\int t^2 e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t^2 e^{-4t} + \tfrac{1}{2}\int t e^{-4t}dt.
E para \int t e^{-4t}dt:
\int t e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t e^{-4t} + \tfrac{1}{4}\int e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t e^{-4t} -\tfrac{1}{16}e^{-4t}.
Substituindo para cima:
\int t^2 e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t^2 e^{-4t} + \tfrac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{4}t e^{-4t} -\tfrac{1}{16}e^{-4t}\Big) = e^{-4t}\Big(-\tfrac{1}{4}t^2 -\tfrac{1}{8}t -\tfrac{1}{32}\Big).
E então
\int t^3 e^{-4t}dt = -\tfrac{1}{4}t^3 e^{-4t} + \tfrac{3}{4}\,e^{-4t}\Big(-\tfrac{1}{4}t^2 -\tfrac{1}{8}t -\tfrac{1}{32}\Big).
Fazendo as multiplicações:
\int t^3 e^{-4t}dt = e^{-4t}\Big(-\tfrac{1}{4}t^3 -\tfrac{3}{16}t^2 -\tfrac{3}{32}t -\tfrac{3}{128}\Big) + C.

Passo 7

Voltar para I(x) e para y_2.
Lembrando que I(x)=2\int t^3 e^{-4t}dt e t=\sqrt{x}, obtemos (absorvendo a constante de integração como múltiplo de y_1, que pode ser ignorado na segunda solução)
I(x)=2e^{-4\sqrt{x}}\Big(-\tfrac{1}{4}\sqrt{x}^{\,3}-\tfrac{3}{16}\sqrt{x}^{\,2}-\tfrac{3}{32}\sqrt{x}-\tfrac{3}{128}\Big).
Simplificando os fatores:
I(x)=e^{-4\sqrt{x}}\Big(-\tfrac{1}{2}x^{3/2}-\tfrac{3}{8}x-\tfrac{3}{16}x^{1/2}-\tfrac{3}{64}\Big).
Agora a segunda solução pela fórmula é y_2=y_1\cdot I(x). Substituindo y_1=x^{-1/2}e^{2\sqrt{x}} e simplificando:
y_2(x)=x^{-1/2}e^{2\sqrt{x}}\cdot e^{-4\sqrt{x}}\Big(-\tfrac{1}{2}x^{3/2}-\tfrac{3}{8}x-\tfrac{3}{16}x^{1/2}-\tfrac{3}{64}\Big).
Isto é
y_2(x)=e^{-2\sqrt{x}}\Big(-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{3}{8}x^{1/2}-\tfrac{3}{16}-\tfrac{3}{64}x^{-1/2}\Big).

Passo 8

Escolher uma constante multiplicativa conveniente (não altera independência linear) para eliminar denominadores e apresentar y_2 de forma mais limpa.
Multiplicando por -64 (constante não nula) obtemos uma solução equivalente mais simples:
\tilde y_2(x)=e^{-2\sqrt{x}}\big(32x+24\sqrt{x}+12+3x^{-1/2}\big).
Como multiplicar por constante não altera o espaço das soluções, podemos tomar y_2=\tilde y_2. Observação rápida de independência linear: y_1 tem fator exponencial e^{2\sqrt{x}} enquanto y_2 tem e^{-2\sqrt{x}}; portanto não são múltiplos um do outro (são linearmente independentes).

Resposta

y_2(x)=e^{-2\sqrt{x}}\big(32x+24\sqrt{x}+12+3x^{-1/2}\big)

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