Em cada um dos Problemas de 23 a 30 (selecionados 23 a 29), use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
29.
29.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Equação diferencial:
- Uma solução conhecida:
- Pedido: usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente
.
Informações úteis que vamos usar (da equação e de
):
- Podemos dividir a equação por
(porque ) para colocá‑la na forma padrão. - A equação na forma padrão não terá termo em
(ver passo seguinte), o que simplifica a fórmula da redução de ordem. - A solução final deve ser linearmente independente de
(ou seja, não pode ser um múltiplo escalar de ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
.
Dividindo por
obtemos
Portanto o coeficiente do termo
é
e o coeficiente de
é
Passo 3
Apresentar a fórmula de redução de ordem e simplificação quando
.
Regra geral: se
é solução de
, então uma segunda solução pode ser construída por
Aqui
, logo
e a fórmula simplifica para
Explicação intuitiva curta: como não há termo
, a equação para o fator adicional a multiplicar
reduz a uma integral simples de
.
Passo 4
Calcular
explicitamente.
Dado
, temos
logo
Passo 5
Calcular a integral
.
Fazemos a substituição natural
(porque aparece
no expoente).
- Então
e .
A integral fica
Passo 6
Calcular
por partes repetidas.
Usamos integração por partes com
,
(assim
,
):
Agora para
fazemos outra vez:
E para
:
Substituindo para cima:
E então
Fazendo as multiplicações:
Passo 7
Voltar para
e para
.
Lembrando que
e
, obtemos (absorvendo a constante de integração como múltiplo de
, que pode ser ignorado na segunda solução)
Simplificando os fatores:
Agora a segunda solução pela fórmula é
. Substituindo
e simplificando:
Isto é
Passo 8
Escolher uma constante multiplicativa conveniente (não altera independência linear) para eliminar denominadores e apresentar
de forma mais limpa.
Multiplicando por
(constante não nula) obtemos uma solução equivalente mais simples:
Como multiplicar por constante não altera o espaço das soluções, podemos tomar
. Observação rápida de independência linear:
tem fator exponencial
enquanto
tem
; portanto não são múltiplos um do outro (são linearmente independentes).