Seja
a superfície tal que
Calcule a área de tal superfície
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície
dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A superfície é o gráfico da função
com
- A restrição
implica a região projetada no plano definida por
- O enunciado pede a área dessa porção do gráfico.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para a superfície que é gráfico de uma função
sobre uma região plana
, a área
é dada por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essa fórmula vem de calcular a norma do produto vetorial das derivadas parciais do parametrizador
e integrar sobre
. Não tem mistério: a área local é aumentada por um fator
em relação à área projeta.
Passo 3
Calcular derivadas parciais de
:
Então o integrando fica
Passo 4
Identificar a região
no plano
sobre a qual integrar:
Isto é uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integral é conveniente fazer uma mudança linear que simplifique o integrando ou a região.
Passo 5
Fazer a mudança de variáveis linear
Explicando a ideia: escolhendo
o integrando
vira
, que é radial em
. A contrapartida é que a região
vai para uma elipse em
, e o jacobiano dessa transformação é
ou seja
.
Sob essa transformação a inequação da região:
com
torna
Portanto a região em
é a elipse
A integral da área torna-se
Passo 6
Agora vamos usar coordenadas polares em
:
Para cada
o limite radial
vai de
até
dado pela equação da elipse:
Simplificando o denominador:
mas é mais simples notar que, após simplificação direta,
Uma observação útil:
(pois
). Assim
Substituindo tudo, a área
fica
A integral interna em
pode ser calculada exatamente:
Aplicando com
,
Usando a expressão anterior para
obtemos uma forma conveniente:
logo o integrando é
Passo 7
A integral angular
não tem forma elementar simples; portanto avaliamos numericamente. Uma maneira prática é aplicar a regra de Simpson composta em
. Como o integrando depende de
podemos avaliar em nós equidistantes
(
) e aplicar Simpson com passo
.
Calculei os valores do integrando nos pontos
(apenas listando os valores de
e o correspondente):
-
( ): integrando . -
( ): integrando . -
( ): integrando . -
( ): integrando . - e os outros pontos repetem por simetria: sequência simétrica de valores.
Aplicando a regra de Simpson composta com essas avaliações obtém-se numericamente
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida e verificação de escala: a projeção no plano
tem área
com
,
, logo
. O fator médio
sobre a região é da ordem de
, então uma área total da superfície em torno de
faz sentido e confirma a consistência numérica do resultado.