Seja S \subset \mathbb{R}^{3} a superfície tal que
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=3 x^{2}+5 y^{2}+1 \text { e } z \leq 5\right\}
Calcule a área de tal superfície S.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S dada por
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z=3x^2+5y^2+1 \text{ e } z\le 5\right\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A superfície é o gráfico da função z=f(x,y) com
f(x,y)=3x^2+5y^2+1.
  • A restrição z\le 5 implica a região projetada no plano xy definida por
3x^2+5y^2+1 \le 5 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2+5y^2 \le 4.
  • O enunciado pede a área dessa porção do gráfico.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para a superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região plana D\subset\mathbb{R}^2, a área A é dada por
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Essa fórmula vem de calcular a norma do produto vetorial das derivadas parciais do parametrizador (x,y)\mapsto(x,y,f(x,y)) e integrar sobre D. Não tem mistério: a área local é aumentada por um fator \sqrt{1+|\nabla f|^2} em relação à área projeta.

Passo 3

Calcular derivadas parciais de f:
f(x,y)=3x^2+5y^2+1 \quad\Rightarrow\quad f_x(x,y)=6x,\qquad f_y(x,y)=10y.
Então o integrando fica
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+(6x)^2+(10y)^2}=\sqrt{1+36x^2+100y^2}.

Passo 4

Identificar a região D no plano xy sobre a qual integrar:
D=\{(x,y):3x^2+5y^2\le 4\}.
Isto é uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integral é conveniente fazer uma mudança linear que simplifique o integrando ou a região.

Passo 5

Fazer a mudança de variáveis linear
u=6x,\qquad v=10y.
Explicando a ideia: escolhendo u=6x,\\ v=10y o integrando \sqrt{1+36x^2+100y^2} vira \sqrt{1+u^2+v^2}, que é radial em (u,v). A contrapartida é que a região D vai para uma elipse em (u,v), e o jacobiano dessa transformação é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{6\cdot 10}=\frac{1}{60},
ou seja dx\,dy=\dfrac{1}{60}\,du\,dv.
Sob essa transformação a inequação da região:
3x^2+5y^2\le 4
com x=u/6,\\ y=v/10 torna
3\frac{u^2}{36}+5\frac{v^2}{100}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^2}{48}+\frac{v^2}{80}\le 1.
Portanto a região em (u,v) é a elipse
\Omega=\left\{(u,v):\frac{u^2}{48}+\frac{v^2}{80}\le 1\right\}.
A integral da área torna-se
A=\iint_{D}\sqrt{1+36x^2+100y^2}\,dx\,dy =\frac{1}{60}\iint_{\Omega}\sqrt{1+u^2+v^2}\,du\,dv.

Passo 6

Agora vamos usar coordenadas polares em (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,\qquad du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Para cada \theta o limite radial r vai de 0 até r_{\max}(\theta) dado pela equação da elipse:
\frac{r^2\cos^2\theta}{48}+\frac{r^2\sin^2\theta}{80}=1 \quad\Longrightarrow\quad r_{\max}(\theta)^2=\frac{1}{\dfrac{\cos^2\theta}{48}+\dfrac{\sin^2\theta}{80}}.
Simplificando o denominador:
\frac{\cos^2\theta}{48}+\frac{\sin^2\theta}{80} =\frac{80\cos^2\theta+48\sin^2\theta}{48\cdot 80} =\frac{16(5\cos^2\theta+3\sin^2\theta)}{3840}
mas é mais simples notar que, após simplificação direta,
r_{\max}(\theta)^2=\frac{3840}{80\cos^2\theta+48\sin^2\theta} =\frac{240}{5\cos^2\theta+3\sin^2\theta}.
Uma observação útil: 5\cos^2\theta+3\sin^2\theta = 3+2\cos^2\theta (pois 5\cos^2+3\sin^2=3(\cos^2+\sin^2)+2\cos^2). Assim
r_{\max}(\theta)^2=\frac{240}{3+2\cos^2\theta}.
Substituindo tudo, a área A fica
A=\frac{1}{60}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_{\max}(\theta)}\sqrt{1+r^2}\;r\,dr\,d\theta.
A integral interna em r pode ser calculada exatamente:
\int_{0}^{R} r\sqrt{1+r^2}\,dr =\frac{1}{3}\bigl(1+R^2\bigr)^{3/2}-\frac{1}{3}.
Aplicando com R=r_{\max}(\theta),
A=\frac{1}{60}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\Bigl((1+r_{\max}(\theta)^2)^{3/2}-1\Bigr)\,d\theta =\frac{1}{180}\int_{0}^{2\pi}\Bigl((1+r_{\max}(\theta)^2)^{3/2}-1\Bigr)\,d\theta.
Usando a expressão anterior para r_{\max}(\theta)^2 obtemos uma forma conveniente:
1+r_{\max}(\theta)^2 =1+\frac{240}{3+2\cos^2\theta} =\frac{243+2\cos^2\theta}{3+2\cos^2\theta},
logo o integrando é
(1+r_{\max}(\theta)^2)^{3/2}-1 =\left(\frac{243+2\cos^2\theta}{3+2\cos^2\theta}\right)^{3/2}-1.

Passo 7

A integral angular
I=\int_{0}^{2\pi}\left(\left(\frac{243+2\cos^2\theta}{3+2\cos^2\theta}\right)^{3/2}-1\right)\,d\theta
não tem forma elementar simples; portanto avaliamos numericamente. Uma maneira prática é aplicar a regra de Simpson composta em 0\le\theta\le 2\pi. Como o integrando depende de \cos^2\theta podemos avaliar em nós equidistantes \theta_k=k\pi/6 ( k=0,\dots,12) e aplicar Simpson com passo \Delta\theta=\pi/6.
Calculei os valores do integrando nos pontos \theta_k (apenas listando os valores de \cos^2\theta e o correspondente):
  • \theta=0 ( \cos^2=1): integrando =343-1=342.
  • \theta=\pi/6 ( \cos^2=3/4): integrando \approx 399{,}5606.
  • \theta=\pi/3 ( \cos^2=1/4): integrando \approx 579{,}714.
  • \theta=\pi/2 ( \cos^2=0): integrando =729-1=728.
  • e os outros pontos repetem por simetria: sequência simétrica de valores.
Aplicando a regra de Simpson composta com essas avaliações obtém-se numericamente
I\approx 3180{,}458\\ \\ (\text{aprox.}).
Portanto
A=\frac{1}{180}I\approx\frac{3180{,}458}{180}\approx 17{,}669.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação de escala: a projeção no plano xy tem área \operatorname{Area}(D)=\pi ab com a=\sqrt{4/3}, b=\sqrt{4/5}, logo \operatorname{Area}(D)=\pi\cdot\frac{4}{\sqrt{15}}\approx 3{,}24. O fator médio \sqrt{1+36x^2+100y^2} sobre a região é da ordem de 5{,}4, então uma área total da superfície em torno de 3{,}24\cdot 5{,}4\approx 17{,}5 faz sentido e confirma a consistência numérica do resultado.

Resposta

17{,}669

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