Verifique se o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha
, onde
consiste na parábola de
a
e no segmento de reta de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha
onde a curva
é composta por duas partes encadeadas: a parábola que vai de
a
e o segmento de reta que vai de
a
.
Informações dadas e perguntas a serem respondidas:
Informações dadas e perguntas a serem respondidas:
- A forma diferencial está dada por
com e . - A curva
é fechada e consiste de: - trecho
: parábola com equação parametrizada de a ; - trecho
: segmento de reta na linha indo de a .
- trecho
- A pergunta: verificar se a igualdade da forma do Teorema de Green se mantém, ou seja comparar a integral de linha
com a integral dupla , onde é a região interior limitada por .
Passo 2
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui) e explicação didática:
desde que
seja a fronteira simples e fechada de
com orientação positiva (contra-horária).
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
e são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de . -
significa derivar em relação a mantendo fixo; deriva em relação a . - A orientação é importante: se o contorno dado tiver orientação negativa (horária), a integral de linha dada por essa orientação será igual ao negativo da integral dupla do lado direito (porque trocar a orientação muda o sinal).
Passo 3
Calcule as derivadas parciais que aparecem no lado direito do Teorema:
Logo a diferença que aparece no integrando é
Passo 4
Descrever a região
limitada por
(extração dos dados da curva):
- A parábola é
com variando entre e . - O segmento de reta é
unindo a .
Portanto a regiãoé
Passo 5
Calcular a integral dupla sobre
de
. Montamos a integral iterada com integração em
interna:
Fazendo a integral em
:
Agora integramos em
:
Observe que a função integranda
é ímpar (produto de potências ímpares de
com constantes). A integral de uma função ímpar sobre o intervalo simétrico
é zero. Portanto
Passo 6
Agora vamos calcular diretamente a integral de linha [\oint_{\alpha} P,dx + Q,dy) seguindo a orientação indicada no enunciado (parábola de
a
, depois segmento de
a
). Decompondo em dois trechos
(parábola) e
(segmento):
Trecho
(parábola): parametrização conveniente
Então
. Substituindo em
:
Integrando de
a
:
pois
é função ímpar.
Passo 7
Trecho
Aqui
. Então
Integrando de
a
:
novamente porque a integral de
sobre
é zero (ou porque é uma função ímpar integrada simetricamente).
Passo 8
Somando as contribuições dos dois trechos:
Comparando com o lado direito do Teorema de Green calculado no Passo 5, que também deu
, temos igualdade.
Passo 9
Comentário final e intuição rápida (motivacional): a integranda da integral dupla era
, que integra para zero sobre a região simétrica em
, e cada trecho da curva também deu integral nula por simetrias. Portanto a igualdade prevista pelo Teorema de Green é verificada neste caso — tanto por cálculo direto da integral de linha quanto pela integral dupla.
Resposta
Sim.
e
, portanto o Teorema de Green é válido e a igualdade é verificada.