Calcule a massa da chapa fina S, dada por
\sigma(u, v)=(u, v, 2 u+v) \text { com }(u, v) \in D: 0 \leqslant u \leqslant 1 \text { e } 0 \leqslant v \leqslant u,
sendo \rho(x, y, z)=x+y+z a densidade superficial.

Passo 1

O enunciado pede a massa da chapa fina S com parametrização
\sigma(u,v) = (u,\,v,\,2u+v),
para (u,v) em
D = \{(u,v)\mid 0 \le u \le 1,\;0 \le v \le u\},
e densidade superficial \rho(x,y,z)=x+y+z.
O conceito que vamos usar é a integral de superfície com densidade:
\text{massa} = \iint_S \rho(x,y,z)\,dS = \iint_D \rho\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\,\bigl\|\sigma_u\times\sigma_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização e o produto vetorial para obter o elemento de área:
\sigma_u = \bigl(1,\,0,\,2\bigr), \quad \sigma_v = \bigl(0,\,1,\,1\bigr).
O produto vetorial é
\sigma_u\times\sigma_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&2\\\\ 0&1&1 \end{vmatrix} = (-2,\,-1,\,1),
cuja norma vale
\bigl\|\sigma_u\times\sigma_v\bigr\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}.

Passo 3

Expressamos a densidade no parâmetro (u,v):
\rho\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = x+y+z = u + v + (2u+v) = 3u + 2v.

Passo 4

Montamos a integral dupla sobre D:
\text{massa} = \iint_D (3u+2v)\,\sqrt{6}\,du\,dv = \sqrt{6}\int_{u=0}^{1}\!\!\int_{v=0}^{u} (3u+2v)\,dv\,du.
Primeiro integramos em v:
\int_{v=0}^{u}(3u+2v)\,dv = \bigl[3u\,v + v^2\bigr]_{0}^{u} = 3u^2 + u^2 = 4u^2.
Em seguida em u:
\int_{0}^{1}4u^2\,du = \tfrac{4}{3}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \sqrt{6}, obtemos
\text{massa} = \frac{4}{3}\,\sqrt{6}.

Resposta

\boxed{\text{massa} = \frac{4}{3}\,\sqrt{6}.}

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