(4,0) Seja
f(x, y)=lll x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule as derivadas parciais de f, se possível. Determine os pontos de diferenciabilidade da função f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto (x, y) é (0,0) ou não. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função, se possível, e depois determinar em quais pontos a função é diferenciável.
Para isso, vamos precisar entender:
  • Derivadas parciais: elas mostram como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
  • Diferenciabilidade: uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em qualquer ponto (x, y) que não seja (0,0).
A função é dada por:
f(x, y) = x^3x^2 + y^2
Para encontrar a derivada parcial em relação a x , vamos tratar y como constante e aplicar a regra do quociente:
partial fpartial x = (3x^2)(x^2 + y^2) - x^3(2x)(x^2 + y^2)^2 = 3x^2(x^2 + y^2) - 2x^4(x^2 + y^2)^2
Simplificando:
partial fpartial x = x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2
Agora, para a derivada parcial em relação a y , tratamos x como constante:
partial fpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2) - x^3(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2x^3 y(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o ponto especial (0,0). Aqui, a função é definida como f(0,0) = 0 . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Para partial fpartial x em (0,0):
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h^3h^2 + 0 - 0h = limh to 0 h^3h^3 = 1
Para partial fpartial y em (0,0):
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 00 + k^2 - 0k = limk to 0 0 = 0

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais em todos os pontos, vamos verificar a diferenciabilidade da função f .
A função f é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto e se a aproximação linear for válida.
Para (x, y) neq (0,0), as derivadas parciais existem e são contínuas, então f é diferenciável nesses pontos.
No ponto (0,0), precisamos verificar se a função é diferenciável. Embora as derivadas parciais existam, precisamos verificar a continuidade das derivadas perto de (0,0).
Calculando o limite de partial fpartial x e partial fpartial y quando (x, y) se aproxima de (0,0):
Para partial fpartial x :
lim(x,y) to (0,0) x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2 = lim(x,y) to (0,0) x^2x^2 + y^2 cdot x^2 + 3y^2x^2 + y^2
Esse limite depende da direção de aproximação e não existe de forma única, o que indica que partial fpartial x não é contínua em (0,0).
Portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais de f existem em todos os pontos (x, y) com exceção de (0,0). A função f é diferenciável em todo ponto (x, y) diferente de (0,0). No ponto (0,0), f não é diferenciável.

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