Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente comparando com séries conhecidas que já sabemos se convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que
cresce muito rápido à medida que
aumenta. Então, para valores grandes de
,
é aproximadamente igual a
. Assim,
fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, nossa série original
está, para grandes
, semelhante a
. Essa nova série é uma progressão geométrica com razão
.
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 5
Para concluir, usamos o Teste da Comparação. Já que
e a série comparativa
converge, podemos dizer que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.