(4,0) Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty 1raiz2^n-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a série sumn=1^infty 1raiz2^n-1 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente comparando com séries conhecidas que já sabemos se convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que 2^n cresce muito rápido à medida que n aumenta. Então, para valores grandes de n, 2^n - 1 é aproximadamente igual a 2^n. Assim, raiz2^n - 1 fica aproximadamente raiz2^n = 2^n/2.

Passo 3

Agora, nossa série original sumn=1^infty 1raiz2^n-1 está, para grandes n, semelhante a sumn=1^infty 12^n/2. Essa nova série é uma progressão geométrica com razão r = 1raiz2.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 1raiz2 approx 0,707 < 1, então a série sumn=1^infty 12^n/2 converge.

Passo 5

Para concluir, usamos o Teste da Comparação. Já que 1raiz2^n - 1 approx 12^n/2 e a série comparativa sumn=1^infty 12^n/2 converge, podemos dizer que a série original sumn=1^infty 1raiz2^n-1 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raiz2^n-1 converge.

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