Encontre a série de Maclaurin da função e o raio de convergência associado. Para finalizar, mostre que a série obtida representa a função no raio de convergencia.
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. No final, vamos mostrar que essa série realmente representa a função dentro desse raio. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre séries de potências e derivadas.
Passo 2
Primeiro, você deve saber o que é uma série de Maclaurin. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, centrada em . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, significa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
E assim por diante. Você vai notar que as derivadas de se repetem a cada quatro passos.
Passo 4
Agora, vamos construir a série de Maclaurin usando essas derivadas:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
De forma geral, podemos escrever:
Passo 5
Vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.
Considerando o termo geral da série:
Aplicamos o Teste da Razão:
Simplificando:
L = limk to infty | x^2(2k+3)(2k+2) | = 0
Como L = 0 < 1 , a série converge para todo valor de x . Portanto, o raio de convergência é infinito ( R = infty ).
Passo 6
Por último, precisamos confirmar que a série realmente representa a função sin(x) dentro do seu raio de convergência. Sabemos que a função sin(x) é analítica em todo o conjunto dos números reais, o que significa que ela pode ser representada por sua série de Maclaurin para qualquer x . Como a série que encontramos converge para todo x , ela representa fielmente a função sin(x) em todo o seu domínio.
Resposta
A série de Maclaurin para f(x) = sin(x) é:
sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
O raio de convergência dessa série é infinito, e a série representa a função sin(x) para todo x .