(4,0) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=sin (x) e o raio de convergência associado. Para finalizar, mostre que a série obtida representa a função f no raio de convergencia.

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função f(x) = sin(x) e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. No final, vamos mostrar que essa série realmente representa a função sin(x) dentro desse raio. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, você deve saber o que é uma série de Maclaurin. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, centrada em x = 0 . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função f(x) é:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Aqui, f^(n)(0) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x = 0 , e n! é o fatorial de n .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de sin(x) e avaliá-las em x = 0 :
  1. Primeira derivada:
f'(x) = cos(x) Rightarrow f'(0) = cos(0) = 1
  1. Segunda derivada:
f''(x) = -sin(x) Rightarrow f''(0) = -sin(0) = 0
  1. Terceira derivada:
f'''(x) = -cos(x) Rightarrow f'''(0) = -cos(0) = -1
  1. Quarta derivada:
f''''(x) = sin(x) Rightarrow f''''(0) = sin(0) = 0
E assim por diante. Você vai notar que as derivadas de sin(x) se repetem a cada quatro passos.

Passo 4

Agora, vamos construir a série de Maclaurin usando essas derivadas:
sin(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + f''''(0)4!x^4 + cdots
Substituindo os valores que calculamos:
sin(x) = 0 + 1 cdot x + 02!x^2 + -13!x^3 + 04!x^4 + cdots
Simplificando:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots
De forma geral, podemos escrever:
sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1

Passo 5

Vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de x a série converge.
Considerando o termo geral da série:
ak = (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
Aplicamos o Teste da Razão:
L = limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (-1)^k+1 x^2(k+1)+1 / (2(k+1)+1)!(-1)^k x^2k+1 / (2k+1)! |
Simplificando:
L = limk to infty | x^2(2k+3)(2k+2) | = 0
Como L = 0 < 1 , a série converge para todo valor de x . Portanto, o raio de convergência é infinito ( R = infty ).

Passo 6

Por último, precisamos confirmar que a série realmente representa a função sin(x) dentro do seu raio de convergência. Sabemos que a função sin(x) é analítica em todo o conjunto dos números reais, o que significa que ela pode ser representada por sua série de Maclaurin para qualquer x . Como a série que encontramos converge para todo x , ela representa fielmente a função sin(x) em todo o seu domínio.

Resposta

A série de Maclaurin para f(x) = sin(x) é:
sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
O raio de convergência dessa série é infinito, e a série representa a função sin(x) para todo x .

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