Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Olha só:
Quando
fica bem grande, o termo
no denominador domina o
, então podemos aproximar a fração por:
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é divergente. Ou seja, ela não tem uma soma finita.
Passo 4
Para confirmar se a nossa série original se comporta como a série harmônica, vamos usar o Teste do Limite de Comparação. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 5
O limite deu um número finito e diferente de zero (no caso, 1). Isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento: se uma converge, a outra converge; se uma diverge, a outra diverge.
Passo 6
Como já sabemos que a série harmônica
é divergente, concluímos que a nossa série original também é divergente.
Resposta
A série
é divergente.