(4,0) Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty n^21+n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=1^infty n^21+n^3 converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Olha só:
n^21 + n^3
Quando n fica bem grande, o termo n^3 no denominador domina o 1 , então podemos aproximar a fração por:
n^2n^3 = 1n

Passo 3

Agora, sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, que é divergente. Ou seja, ela não tem uma soma finita.

Passo 4

Para confirmar se a nossa série original se comporta como a série harmônica, vamos usar o Teste do Limite de Comparação. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty n^21 + n^31n = limn to infty n^31 + n^3 = 1

Passo 5

O limite deu um número finito e diferente de zero (no caso, 1). Isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento: se uma converge, a outra converge; se uma diverge, a outra diverge.

Passo 6

Como já sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n é divergente, concluímos que a nossa série original também é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^21+n^3 é divergente.

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