Seja
o campo definido por
Verifique se o campo
é conservativo, e se for calcular sua função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial
e pede para verificarmos se ele é conservativo. Se for, temos que encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função
tal que:
Ou seja,
e
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as parciais cruzadas são iguais. Matemáticamente, precisamos ver se:
Vamos calcular essas derivadas para o campo dado.
Passo 4
Dado
, temos:
Vamos calcular
:
Agora,
:
Passo 5
Como
, o campo
é realmente conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
.
Passo 6
Para achar
, começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim:
Isso implica que:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Como a constante não afeta o gradiente, podemos descartá-la.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é: