Seja F: R^2 R^2 o campo definido por
F(x, y)=(2 x y^3+y+1,3 x^2 y^2+x+7)
Verifique se o campo F é conservativo, e se for calcular sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial F(x, y) e pede para verificarmos se ele é conservativo. Se for, temos que encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existir uma função phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y )
Ou seja, P = partial phipartial x e Q = partial phipartial y.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as parciais cruzadas são iguais. Matemáticamente, precisamos ver se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas para o campo dado.

Passo 4

Dado F(x, y) = (2xy^3 + y + 1,, 3x^2y^2 + x + 7), temos:
P = 2xy^3 + y + 1 e Q = 3x^2y^2 + x + 7
Vamos calcular partial Ppartial y:
partial Ppartial y = 6xy^2 + 1
Agora, partial Qpartial x:
partial Qpartial x = 6xy^2 + 1

Passo 5

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é realmente conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y).

Passo 6

Para achar phi(x, y), começamos integrando P em relação a x:
phi(x, y) = integral P , dx = integral (2xy^3 + y + 1) , dx = x^2y^3 + yx + x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 7

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y = 3x^2y^2 + x + dgdy = Q = 3x^2y^2 + x + 7
Assim:
3x^2y^2 + x + dgdy = 3x^2y^2 + x + 7
Isso implica que:
dgdy = 7 Rightarrow g(y) = 7y + C
Onde C é uma constante.

Passo 8

Finalmente, substituímos g(y) na expressão de phi(x, y):
phi(x, y) = x^2y^3 + yx + x + 7y + C
Como a constante não afeta o gradiente, podemos descartá-la.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é:
phi(x, y) = x^2 y^3 + x y + x + 7 y

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