Seja
a função
. Calcular a integral de superfície da função
sobre o cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integral de superfície, que faz parte da Matemática, mais especificamente do Cálculo Vetorial. A função que precisamos integrar é $ p(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $ sobre um cilindro definido por $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ a \leq z \leq b $. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e calcular o elemento de área $ dS $ para fazer a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. Como o cilindro é definido por $ x^2 + y^2 = 1 $, sabemos que ele tem raio 1. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização. Vamos definir:
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ (para cobrir toda a circunferência do círculo) e $ z $ varia de $ a $ a $ b $ (para cobrir a altura do cilindro).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área $ dS $ na parametrização que escolhemos. Para uma superfície parametrizada por $ \theta $ e $ z $, o elemento de área é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais em relação a $ \theta $ e $ z $:
Calculando as derivadas:
O produto vetorial dessas derivadas é:
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área fica:
Passo 4
Com a parametrização e o elemento de área definidos, podemos montar a integral de superfície. A função $ p(x, y, z) $ na parametrização escolhida fica:
Então, a integral de superfície é:
Passo 5
Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
A integral de superfície da função $ p $ sobre o cilindro $ K $ é: