Seja p: R^3 R^3 a função p(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Calcular a integral de superfície da função p sobre o cilindro K=(x, y, z) mid x^2+y^2=1, a <= z <= b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integral de superfície, que faz parte da Matemática, mais especificamente do Cálculo Vetorial. A função que precisamos integrar é $ p(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 $ sobre um cilindro definido por $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ a \leq z \leq b $. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e calcular o elemento de área $ dS $ para fazer a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro. Como o cilindro é definido por $ x^2 + y^2 = 1 $, sabemos que ele tem raio 1. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização. Vamos definir:
x^2 + y^2 = 1
x = cos theta
y = sin theta
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ (para cobrir toda a circunferência do círculo) e $ z $ varia de $ a $ a $ b $ (para cobrir a altura do cilindro).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área $ dS $ na parametrização que escolhemos. Para uma superfície parametrizada por $ \theta $ e $ z $, o elemento de área é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais em relação a $ \theta $ e $ z $:
dS
Calculando as derivadas:
theta
z
O produto vetorial dessas derivadas é:
theta
A magnitude desse vetor é:
z
Então, o elemento de área fica:
dS = | partial rpartial theta times partial rpartial z | dtheta dz

Passo 4

Com a parametrização e o elemento de área definidos, podemos montar a integral de superfície. A função $ p(x, y, z) $ na parametrização escolhida fica:
p(x, y, z)
Então, a integral de superfície é:
p(theta, z) = cos^2 theta + sin^2 theta + z^2 = 1 + z^2

Passo 5

Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
integrala^b (1 + z^2) , dz = [ z + z^33 ]a^b = ( b + b^33 ) - ( a + a^33 ) = (b - a) + b^3 - a^33

Resposta

A integral de superfície da função $ p $ sobre o cilindro $ K $ é:
p

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