Calcular a área da parte do cone z^2=x^2+y^2, z >= 0, que está dentro do cilindro x^2+y^2=2x.
Sugestão: A função f: S R^3 definida por f(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2), sendo S=(u, v) mid(u-1)^2+v^2 <= 1, é uma parametrização da parte do cone que está dentro do cilindro)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo Integral, mais especificamente sobre cálculo de áreas de superfícies usando parametrização. A questão pede para calcular a área da parte do cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, onde $ z \geq 0 $, que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2x $. Vamos usar uma parametrização sugerida para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização dada. A função f: S R^3 definida por f(u, v) = (u, v, raizu^2 + v^2) mapeia cada ponto (u, v) do conjunto S = (u, v) mid (u-1)^2 + v^2 <= 1 para um ponto no espaço tridimensional que está sobre o cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $. Isso significa que estamos parametrizando a parte do cone que está dentro do cilindro dado.

Passo 3

Para calcular a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula de área para superfícies parametrizadas:
A = integral duplaS | partial fpartial u times partial fpartial v | , du , dv
Aqui, $ \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial u} $ e $ \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial v} $ são as derivadas parciais da parametrização em relação a $ u $ e $ v $, e o símbolo $ \times $ representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial u = (1, 0, uraizu^2 + v^2)
partial fpartial v = (0, 1, vraizu^2 + v^2)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
partial fpartial u times partial fpartial v = i & j & k 1 & 0 & uraizu^2 + v^2 0 & 1 & vraizu^2 + v^2
Resolvendo o determinante:
= i (0 cdot vraizu^2 + v^2 - 1 cdot uraizu^2 + v^2) - j (1 cdot vraizu^2 + v^2 - 0 cdot uraizu^2 + v^2) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
Simplificando:
= -uraizu^2 + v^2 i - vraizu^2 + v^2 j + k

Passo 6

Agora, encontramos a norma desse vetor:
| partial fpartial u times partial fpartial v | = raiz(-uraizu^2 + v^2)^2 + (-vraizu^2 + v^2)^2 + 1^2 = raizu^2 + v^2u^2 + v^2 + 1 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 7

Com a norma do produto vetorial sendo constante e igual a $ \sqrt{2} $, a integral de área fica:
raiz2
Agora, precisamos calcular a área da região $ S $.

Passo 8

A região $ S $ é definida por $ (u-1)^{2} + v^{2} \leq 1 $, que é um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $. Para facilitar a integração, fazemos uma mudança de coordenadas com $ u’ = u - 1 $ e $ v’ = v $, assim a região se transforma em $ u’^{2} + v’^{2} \leq 1 $, um círculo unitário centrado na origem.

Passo 9

Vamos usar coordenadas polares para integrar sobre o círculo unitário. Assim, $ u’ = r \cos \theta $ e $ v’ = r \sin \theta $, onde $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
A área em coordenadas polares é dada por:
u' = r cos theta

Passo 10

Calculando a integral:
integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta = integral0^2pi [ 12 r^2 ]0^1 dtheta = integral0^2pi 12 dtheta = 12 cdot 2pi = pi

Passo 11

Agora, substituímos o resultado na expressão da área da superfície:
A = raiz2 cdot pi = pi raiz2

Resposta

A área da parte do cone dentro do cilindro é $ \pi \sqrt{2} $ unidades de área.

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