Calcular a área da parte do cone
, que está dentro do cilindro
.
Sugestão: A função
definida por
, sendo
, é uma parametrização da parte do cone que está dentro do cilindro)
Sugestão: A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo Integral, mais especificamente sobre cálculo de áreas de superfícies usando parametrização. A questão pede para calcular a área da parte do cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $, onde $ z \geq 0 $, que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2x $. Vamos usar uma parametrização sugerida para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a parametrização dada. A função
definida por
mapeia cada ponto
do conjunto
para um ponto no espaço tridimensional que está sobre o cone $ z^{2} = x^{2} + y^{2} $. Isso significa que estamos parametrizando a parte do cone que está dentro do cilindro dado.
Passo 3
Para calcular a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula de área para superfícies parametrizadas:
Aqui, $ \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial u} $ e $ \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial v} $ são as derivadas parciais da parametrização em relação a $ u $ e $ v $, e o símbolo $ \times $ representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Passo 6
Agora, encontramos a norma desse vetor:
Passo 7
Com a norma do produto vetorial sendo constante e igual a $ \sqrt{2} $, a integral de área fica:
Agora, precisamos calcular a área da região $ S $.
Passo 8
A região $ S $ é definida por $ (u-1)^{2} + v^{2} \leq 1 $, que é um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $. Para facilitar a integração, fazemos uma mudança de coordenadas com $ u’ = u - 1 $ e $ v’ = v $, assim a região se transforma em $ u’^{2} + v’^{2} \leq 1 $, um círculo unitário centrado na origem.
Passo 9
Vamos usar coordenadas polares para integrar sobre o círculo unitário. Assim, $ u’ = r \cos \theta $ e $ v’ = r \sin \theta $, onde $ r $ varia de 0 a 1 e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
A área em coordenadas polares é dada por:
Passo 10
Calculando a integral:
Passo 11
Agora, substituímos o resultado na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da parte do cone dentro do cilindro é $ \pi \sqrt{2} $ unidades de área.