Seja a o campo elétrico em coordenadas cartesianas dado por E(x, y, z)=(x^2-y^2, 2 x y, z^3). Calcule nabla times E. O que significa fisicamente esse resultado?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A questão dá um campo elétrico em coordenadas cartesianas
vec E(x,y,z)=l(x^2 - y^2,;2xy,;z^3r)
e quer que a gente calcule o rotacional (ou curl) desse campo, ou seja .
Conteúdo: cálculo vetorial (operador rotacional) e noções de física de campos elétricos. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais direitinho e conhecer a definição de rotacional.

Passo 2

O que é rotacional? Em coordenadas cartesianas a gente define
nabla = l(partialpartial x,,partialpartial y,,partialpartial zr)
e
nabla times vec E = hat i & hat j & hat k partialx & partialy & partialz Ex & Ey & Ez
Na prática, isso dá três componentes:
(nablatimesvec E)x = partial Ezpartial y - partial Eypartial z, (nablatimesvec E)y = partial Expartial z - partial Ezpartial x, (nablatimesvec E)z = partial Eypartial x - partial Expartial y

Passo 3

Vamos calcular cada uma:
  1. Componente partial Ezpartial y = partial (z^3)partial y = 0, partial Eypartial z = partial (2xy)partial z = 0 :
partial Expartial z = partial (x^2 - y^2)partial z = 0, partial Ezpartial x = partial (z^3)partial x = 0
Logo partial Eypartial x = partial (2xy)partial x = 2y, partial Expartial y = partial (x^2 - y^2)partial y = -2y
  1. Componente :
Logo
  1. Componente :
Logo

Passo 4

Juntando tudo, o rotacional é
nabla times vec E = (0,;0,;4y)

Passo 5

O que isso significa fisicamente?
  • O rotacional mede a “rotação” ou circulação local do campo.
  • Se , o campo é conservativo (você pode achar um potencial elétrico tal que ).
  • Aqui : . Isso diz que nosso campo tem uma “girada” em torno do eixo , proporcional a . Em eletromagnetismo, um rotacional não nulo indica campo elétrico induzido por variação de campo magnético (lei de Faraday), ou simplesmente que não dá pra escrever esse como gradiente de um potencial estático.

Resposta

nabla times vec E = (0,;0,;4y)
Fisicamente, esse resultado mostra que o campo elétrico não é conservativo e tem uma rotação local (circulação) na direção proporcional a .

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